Мацлаурин серија и декомпозиција неких функција

Ученици више математике требају бити свјеснида је сума одређеног низа снага које припадају интервалу конвергенције серија датих нама континуирани и неограничени број пута диференциране функције. Поставља се питање: да ли је могуће тврдити да је задата функција ф (к) сума одређеног низа моћи? То јест, под којим условима се ф-иа ф (к) може приказати као серија моћи? Важност овог питања лежи у чињеници да је могуће приближно замијенити ффцф (к) са сумом првих неколико термина низова снаге, тј. Полинома. Таква замена функције са прилично једноставним изразом - полином - такође је погодна када се решавају неки проблеми математичке анализе, и то: при решавању интеграла, израчунавању диференцијалних једначина итд.

Доказано је да за неке ф-ии ф (к), у којима је могуће израчунати деривате до (н + 1) -тог реда, укључујући и последњи, у суседству (α) - Р; к₀ + Р) нека тачка к = α формула је важећа:

Ова формула је добила име по чувеном научнику Брооке Таилор. Серија, која се добија из претходног, назива се Мацлаурин серија:

Правило, које омогућава да се произведе декомпозиција у низу Мацлаурина:

1. Одредите деривате првог, другог, трећег ... налога.
2. Израчунајте који су деривати једнаки у к = 0.
3. Напишите ову Мацлауринову серију за ову функцију, а затим одредите интервал њене конвергенције.
4. Одредите интервал (-Р; Р), где је резидуални део Мацлауринове формуле

Р_н(к) -> 0 за н -> бесконачност. Ако таква постоји, у њој се функција ф (к) мора подударати са сумом Мацлауринових серија.

Сада разматрамо Мацлауринове серије за појединачне функције.

1. Дакле, први ће бити ф (к) = е^к. Наравно, у смислу својих карактеристика, такав ф-Иа има деривате најразличитијих редова, са ф^(к)(к) = е^сагде је к једнако свим природним бројевима. Замени к = 0. Гет ф^(к)(0) = е⁰= 1, к = 1,2 ... На основу горе наведеног, ред е^к изгледаће овако:

2. Мацлаурин-ови низови за функцију ф (к) = син к. Разјаснимо одмах да ће функција за све непознате имати деривате; штавише, ф^"(к) = цос к = син (к + н / 2), ф^""(к) = -син к = син (к + 2 * н / 2) ..., ф^(к)(к) = син (к + к * н / 2), где је к једнак било којем природном броју. Односно, након једноставних прорачуна, можемо доћи до закључка да ће низ за ф (к) = син к бити овог облика:

3. Покушајмо сада да размотримо ф-иу ф (к) = цос к. За све непознанице има изводе произвољног реда, а | ф^(к)(к) | = | цос (к + к * н / 2) | <= 1, к = 1.2 ... Поново, након извршених одређених прорачуна, добијамо да ће низ за ф (к) = цос к изгледати овако:

Дакле, навели смо најважније функције којемогу се проширити у серију Мацлаурин, али их за неке функције допуњује Таилор серија. Сад ћемо их и ми навести. Такође је вредно напоменути да су серије Таилор и Мацлаурин важан део радионице за решавање серија из више математике. Дакле, Таилор се рангира.

1. Прва ће бити серија за ф-ии ф (к) = лн (1 + к).Као и у претходним примерима, и за дати ф (к) = лн (1 + к), серију можемо додати користећи општи облик Мацлауринове серије. међутим, серија Мацлаурин се за ову функцију може добити много једноставније. Интегришући одређени геометријски низ, добијамо низ за ф (к) = лн (1 + к) таквог узорка:

2. А друга, која ће бити коначна у нашем чланку, биће серија за ф (к) = арцтан к. За к који припада интервалу [-1; 1] важи декомпозиција:

То је све. Овај чланак је испитивао најчешће коришћене Таилор и Мацлаурин серије у вишој математици, посебно на економским и техничким универзитетима.