Georg Cantor (fotografia este dată mai târziu în articol) -Matematician german care a creat teoria mulțimilor și a introdus conceptul de numere transfinite, infinit de mari, dar diferite unele de altele. De asemenea, a definit numerele ordinale și cardinale și a creat aritmetica acestora.
Georg Cantor: o scurtă biografie
Născut la Sankt Petersburg la 03.03.1845.Tatăl său era de religie protestantă daneză Georg-Waldemar Kantor, care era implicat în comerț, inclusiv la bursă. Mama lui, Maria Boehm, era catolică și provenea dintr-o familie de muzicieni distinși. Când tatăl lui Georg s-a îmbolnăvit în 1856, familia s-a mutat, în căutarea unui climat mai blând, mai întâi la Wiesbaden și apoi la Frankfurt. Talentele matematice ale băiatului au apărut chiar înainte de a împlini 15 ani, în timp ce studia în școli private și gimnazii din Darmstadt și Wiesbaden. În cele din urmă, Georg Cantor și-a convins tatăl de intenția sa fermă de a deveni matematician, nu inginer.
După un scurt studiu la Universitatea din Zurich în 1863, Kantor s-a transferat la Universitatea din Berlin pentru a studia fizica, filozofia și matematica. Acolo a fost învățat:
- Karl Theodor Weierstrass, a cărui specializare în analiză a fost probabil cea mai influentă asupra lui Georg;
- Ernst Eduard Kummer, care a predat aritmetica superioară;
- Leopold Kronecker, un teoretician al numerelor care s-a opus mai târziu lui Cantor.
După ce a petrecut un semestru la Universitatea din Göttingen în1866, în anul următor, Georg și-a scris teza de doctorat intitulată „În matematică, arta de a pune întrebări este mai valoroasă decât a rezolva probleme”, referitoare la o problemă pe care Karl Friedrich Gauss a lăsat-o nerezolvată în Disquisitiones Arithmeticae (1801). După ce a predat pentru scurt timp la Școala de Fete din Berlin, Kantor a început să lucreze la Universitatea din Halle, unde a rămas până la sfârșitul vieții, mai întâi ca profesor, din 1872 ca asistent și din 1879 ca profesor.
cercetare
La începutul unei serii de 10 lucrări din 1869 până în 1873Georg Cantor a luat în considerare teoria numerelor. Lucrarea a reflectat pasiunea lui pentru subiect, studiile sale despre Gauss și influența lui Kronecker. La sugestia lui Heinrich Eduard Heine, un coleg cu Cantor din Halle, care și-a recunoscut talentul matematic, a apelat la teoria seriei trigonometrice, în care a extins conceptul de numere reale.
Plecând de la lucrul asupra funcției complexuluivariabilă a matematicianului german Bernhard Riemann în 1854, în 1870 Cantor a arătat că o astfel de funcție poate fi reprezentată într-un singur mod - seria trigonometrică. Luarea în considerare a unui set de numere (puncte) care nu ar contrazice o asemenea viziune l-a condus, în primul rând, în 1872 la definirea numerelor iraționale în termeni de secvențe convergente de numere raționale (fracții de numere întregi) și apoi la începutul lucrărilor asupra munca întregii sale vieți, teoria mulțimilor și conceptul de numere transfinite.
Teoria multimilor
Georg Cantor, a cărui teorie s-a născutîn corespondență cu matematicianul Institutului Tehnic din Braunschweig, Richard Dedekind, a fost prieten cu el încă din copilărie. Ei au ajuns la concluzia că mulțimile, finite sau infinite, sunt o colecție de elemente (de exemplu, numere, {0, ± 1, ± 2...}) care au o anumită proprietate, păstrându-și în același timp individualitatea. Dar când Georg Cantor a folosit o corespondență unu-la-unu pentru a le studia caracteristicile (de exemplu, {A, B, C} la {1, 2, 3}), și-a dat repede seama că ele diferă în ceea ce privește gradul de apartenență, chiar și dacă ar fi mulțimi infinite, adică mulțimi, o parte sau submulțime din care include tot atâtea obiecte cât ea însăși. Metoda lui a dat curând rezultate surprinzătoare.
În 1873 Georg Cantor (matematician) a arătat cănumerele raționale, deși infinite, sunt numărabile, deoarece pot fi puse într-o corespondență unu-la-unu cu numerele naturale (adică, 1, 2, 3 etc.). El a arătat că mulțimea numerelor reale, formată din irațional și rațional, este infinită și de nenumărat. Mai paradoxal, Cantor a demonstrat că mulțimea tuturor numerelor algebrice conține tot atâtea elemente cât și mulțimea tuturor numerelor întregi și că numerele transcendentale care nu sunt algebrice, care sunt o submulțime de numere iraționale, sunt nenumărabile și, prin urmare, numărul lor este mai mare. decât numerele întregi. și ar trebui să fie considerat infinit.
Adversari și susținători
Dar opera lui Cantor, în care a prezentat prima datăaceste rezultate nu au fost publicate în revista Krell, deoarece unul dintre recenzori, Kronecker, s-a opus vehement. Dar după intervenția lui Dedekind, a fost publicat în 1874 sub titlul „Despre proprietățile caracteristice ale tuturor numerelor algebrice reale”.
Știința și viața personală
În același an, în timpul mieriiluni alături de soția sa Wally Gutmann în Interlaken, Elveția, Kantor l-a întâlnit pe Dedekind, care a vorbit favorabil despre noua sa teorie. Salariul lui George era mic, dar cu banii tatălui său, care a murit în 1863, a construit o casă pentru soția și cei cinci copii. Multe dintre lucrările sale au fost publicate în Suedia în noua jurnală Acta Mathematica, editată și fondată de Gesta Mittag-Leffler, care a fost printre primii care au recunoscut talentul matematicianului german.
Legătura cu metafizica
Teoria lui Cantor a devenit un subiect complet noustudii privind matematica infinitului (de exemplu, seria 1, 2, 3 etc., și mulțimi mai complexe), care depindeau în mare măsură de corespondența unu-la-unu. Dezvoltarea de către Cantor a noi metode de a pune întrebări privind continuitatea și infinitul a dat cercetării sale un caracter ambiguu.
Când a susținut că numerele infinite sunt realeexistă, s-a orientat către filosofia antică și medievală în raport cu infinitul actual și potențial, precum și la educația religioasă timpurie pe care i-au dat-o părinții săi. În 1883, în cartea sa Fundamentals of General Set Theory, Cantor și-a combinat conceptul cu metafizica lui Platon.
Kronecker, care a susținut că „există”numai numere întregi („Dumnezeu a creat numere întregi, restul este opera omului”), timp de mulți ani i-a respins cu ardoare raționamentul și i-a împiedicat numirea la Universitatea din Berlin.
Numerele transfinite
În 1895-97.Georg Cantor și-a format pe deplin conceptul de continuitate și infinit, inclusiv numere ordinale și cardinale infinite, în cea mai faimoasă lucrare a sa, publicată sub titlul „Contribuția la crearea teoriei numerelor transfinite” (1915). Acest eseu conține conceptul său, la care a fost condus de demonstrația că o mulțime infinită poate fi pusă într-o corespondență unu-la-unu cu una dintre submulțimile sale.
Sub cel mai mic număr cardinal transfinitel se referea la cardinalitatea oricărei mulţimi care poate fi pusă într-o corespondenţă unu-la-unu cu numerele naturale. Cantor a numit-o aleph-zero. Mulțimi mari transfinite sunt notate aleph-unu, aleph-două, etc. Apoi a dezvoltat aritmetica numerelor transfinite, care era analogă cu aritmetica finită. Astfel, el a îmbogățit conceptul de infinit.
Opoziţia cu care s-a confruntat şi timpulfaptul că a fost nevoie ca ideile lui să fie pe deplin acceptate se datorează dificultății de a reevalua întrebarea antică despre ce este un număr. Cantor a arătat că un set de puncte de pe o linie are o putere mai mare decât aleph-zero. Acest lucru a condus la binecunoscuta problemă a ipotezei continuumului - nu există cardinali între alef zero și cardinalitatea punctelor de pe linie. Această problemă a stârnit un mare interes în prima și a doua jumătate a secolului al XX-lea și a fost studiată de mulți matematicieni, printre care Kurt Gödel și Paul Cohen.
Depresie
Biografia lui Georg Cantor din 1884a fost umbrit de debutul bolii sale mintale, dar a continuat să lucreze activ. În 1897 a ajutat la organizarea primului congres internațional de matematică la Zurich. Parțial pentru că i s-a opus Kronecker, el a simpatizat adesea cu tinerii aspiranți la matematicieni și a căutat să găsească o modalitate de a-i salva de opresiunea din partea profesorilor care se simțeau amenințați de idei noi.
Mărturisire
La începutul secolului, opera lui era completrecunoscută ca bază pentru teoria funcțiilor, analiză și topologie. În plus, cărțile lui Cantor Georg au servit ca un impuls pentru dezvoltarea ulterioară a școlilor intuiționiste și formaliste ale fundamentelor logice ale matematicii. Acest lucru a schimbat semnificativ sistemul de predare și este adesea asociat cu „noile matematice”.
În 1911 g.Kantor a fost printre cei invitați să sărbătorească cea de-a 500-a aniversare a Universității din St Andrews din Scoția. S-a dus acolo sperând să-l întâlnească pe Bertrand Russell, care, în lucrarea sa recent publicată Principia Mathematica, s-a referit în mod repetat la matematicianul german, dar acest lucru nu s-a întâmplat. Universitatea i-a acordat lui Kantor o diplomă onorifică, dar din cauza unei boli, acesta nu a putut accepta personalul premiul.
Kantor s-a pensionat în 1913., a trăit în sărăcie și a murit de foame în timpul Primului Război Mondial. Sărbătorile în cinstea celei de-a 70 de ani de naștere în 1915 au fost anulate din cauza războiului, dar o mică ceremonie a avut loc la el acasă. A murit la 06.01.1918 la Halle, într-un spital de psihiatrie, unde și-a petrecut ultimii ani din viață.
Georg Cantor: biografie. O familie
9 august 1874Matematician german s-a căsătorit cu Wally Gutmann. Cuplul a avut 4 fii si 2 fiice. Ultimul copil s-a născut în 1886 într-o casă nouă achiziționată de Kantor. Moștenirea tatălui său l-a ajutat să întrețină familia. Starea de sănătate a lui Kantor a fost puternic afectată de moartea fiului său cel mai mic în 1899 - de atunci nu a mai părăsit depresia.
