Dodawanie ułamków: definicje, reguły i przykłady problemów

Niektóre z najtrudniejszych do zrozumienia dla uczniato różne akcje z prostymi ułamkami. Wynika to z faktu, że dzieciom nadal trudno jest myśleć abstrakcyjnie, a ułamki w rzeczywistości wyglądają dla nich dokładnie tak. Dlatego prezentując materiał, nauczyciele często uciekają się do analogii i wyjaśniają odejmowanie i dodawanie ułamków dosłownie na palcach. Chociaż żadna lekcja matematyki w szkole nie może obejść się bez reguł i definicji.

Podstawowe koncepcje

Przed wykonaniem jakiejkolwiek czynnościułamki, warto zapoznać się z kilkoma podstawowymi definicjami i regułami. Na początku ważne jest, aby zrozumieć, czym jest ułamek. Oznacza liczbę będącą jedną lub kilkoma częściami jednej. Na przykład, jeśli pokroisz bochenek na 8 kawałków i położysz 3 plasterki na talerzu, wtedy 3/8 będzie ułamkiem. Co więcej, w tym piśmie będzie to ułamek prosty, w którym liczba powyżej linii jest licznikiem, a pod nią jest mianownikiem. Ale jeśli zapiszesz jako 0,375, będzie to już ułamek dziesiętny.

Ponadto proste ułamki są podzielone nadobre, złe i mieszane. Pierwsza obejmuje wszystkie te, których licznik jest mniejszy niż mianownik. Jeśli wręcz przeciwnie, mianownik jest mniejszy niż licznik, będzie to już nieprawidłowy ułamek. Jeśli przed poprawną znajduje się liczba całkowita, mówią o liczbach mieszanych. Zatem 1/2 jest poprawne, ale 7/2 nie. A jeśli napiszesz to w tej formie: 3¹/₂potem się miesza.

Aby łatwiej było zrozumieć, co jestdodawanie ułamków i łatwość jego wykonania, ważne jest również, aby pamiętać o podstawowej właściwości ułamka. Jego istota jest następująca. Jeśli licznik i mianownik zostaną pomnożone przez tę samą liczbę, ułamek się nie zmieni. To ta właściwość pozwala wykonywać najprostsze czynności za pomocą zwykłych i innych frakcji. W rzeczywistości oznacza to, że 1/15 i 3/45 to w zasadzie ta sama liczba.

Dodawanie ułamków o tym samym mianowniku

Zwykle nie powoduje towielka trudność. Dodawanie ułamków w tym przypadku jest bardzo podobne do podobnej czynności z liczbami całkowitymi. Mianownik pozostaje niezmieniony, a liczniki są po prostu dodawane. Na przykład, jeśli chcesz dodać ułamki 2/7 i 3/7, rozwiązanie problemu szkolnego w zeszycie będzie wyglądać następująco:

2/7 + 3/7 = (2 + 3) / 7 = 5/7.

Ponadto to dodanie frakcji można wyjaśnić za pomocąna prosty przykład. Weź na przykład zwykłe jabłko i pokrój je na 8 kawałków. Rozłóż osobno 3 części, a następnie dodaj do nich kolejne 2, dzięki czemu w filiżance znajdzie się 5/8 całego jabłka. Sam problem arytmetyczny jest napisany w sposób pokazany poniżej:

3/8 + 2/8 = (3 + 2) / 8 = 5/8.

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Ale często są trudniejsze zadania, w którychmusisz dodać razem, na przykład 5/9 i 3/5. Tutaj pojawiają się pierwsze trudności w operacjach na ułamkach. W końcu dodanie takich liczb będzie wymagało dodatkowej wiedzy. Teraz będziesz musiał w pełni przywołać ich główną właściwość. Aby dodać ułamki z przykładu, najpierw musisz doprowadzić je do jednego wspólnego mianownika. Aby to zrobić, wystarczy pomnożyć przez siebie 9 i 5, pomnożyć licznik „5” przez 5 i odpowiednio „3” przez 9. W ten sposób zostały już dodane następujące ułamki: 25/45 i 27 / 45. Teraz pozostaje tylko dodać liczniki i uzyskać odpowiedź 52/45. Przykład na kartce papieru wyglądałby następująco:

5/9 + 3/5 = (5 x 5) / (9 x 5) + (3 x 9) / (5 x 9) = 25/45 + 27/45 = (25 + 27) / 45 = 52 / 45 = 1⁷/₄₅.

Ale dodawanie ułamków z takimi mianownikami już niezawsze wymaga prostego pomnożenia liczb pod linią. Najpierw poszukaj najniższego wspólnego mianownika. Na przykład, jeśli chodzi o ułamki 2/3 i 5/6. Dla nich będzie to liczba 6. Ale odpowiedź nie zawsze jest oczywista. W tym przypadku warto przypomnieć zasadę znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności (w skrócie LCM) dwóch liczb.

Jest rozumiany jako najmniejszy wspólny dzielnik dwóchwszystkie liczby. Aby go znaleźć, każdy jest rozłożony na czynniki pierwsze. Teraz wypisz te z nich, które pojawiają się przynajmniej raz w każdym numerze. Pomnóż je między sobą i uzyskaj ten sam mianownik. W rzeczywistości wszystko wygląda na trochę prostsze.

Na przykład chcesz dodać ułamki 4/15 i 1/6.Zatem 15 uzyskuje się, mnożąc proste liczby 3 i 5, a sześć - dwa i trzy. Oznacza to, że LCM dla nich wyniesie 5 x 3 x 2 = 30. Teraz, dzieląc 30 przez mianownik pierwszego ułamka, otrzymamy współczynnik jego licznika - 2. A dla drugiego ułamka będzie to liczba 5 Pozostaje więc dodać zwykłe ułamki 8/30 i 5/30 i otrzymać odpowiedź 13/30. Wszystko jest niezwykle proste. W zeszycie to zadanie należy zapisać w następujący sposób:

4/15 + 1/6 = (4 x 2) / (15 x 2) + (1 x 5) / (6 x 5) = 8/30 + 5/30 = 13/30.

LCM (15, 6) = 30.

Dodawanie liczb mieszanych

Teraz, znając wszystkie podstawowe techniki dodawania prostych ułamków, możesz spróbować swoich sił w bardziej złożonych przykładach. A będą to liczby mieszane, przez które rozumieją ułamek tego rodzaju: 2²/₃... Tutaj cała część jest zapisana przed zwykłym ułamkiem. I wielu jest zdezorientowanych, wykonując czynności z takimi liczbami. W rzeczywistości obowiązują tu te same zasady.

Aby dodać razem liczby mieszane,osobno dodawać całe części i zwykłe frakcje. A potem te 2 wyniki są już zsumowane. W praktyce wszystko jest dużo łatwiejsze, wystarczy trochę poćwiczyć. Na przykład w przypadku problemu musisz dodać następujące liczby mieszane: 1¹/₃ i 4²/₅... Aby to zrobić, najpierw dodaj 1 i 4 -zdobądź 5. Następnie dodaj 1/3 i 2/5, używając technik redukcji do najniższego wspólnego mianownika. Rozwiązaniem byłoby 15.11. Ostateczna odpowiedź to 5¹¹/₁₅... W szkolnym zeszycie będzie wyglądać znacznie krócej:

1¹/₃ + 4²/₅ = (1 + 4) + (1/3 + 2/5) = 5 + 5/15 + 6/15 = 5 + 11/15 = 5¹¹/₁₅.

Dodawanie ułamków dziesiętnych

Oprócz zwykłych ułamków zwykłych istnieją również ułamki dziesiętne.Nawiasem mówiąc, są znacznie częstsze w życiu. Na przykład cena w sklepie często wygląda tak: 20,3 rubla. To jest właśnie ułamek. Oczywiście są one znacznie łatwiejsze do złożenia niż zwykłe. Zasadniczo wystarczy dodać 2 zwykłe liczby, najważniejsze jest wstawienie przecinka we właściwym miejscu. Tu pojawiają się trudności.

Na przykład musisz dodać takie ułamki dziesiętne 2,5 i 0,56. Aby zrobić to poprawnie, na końcu musisz dodać zero do pierwszego i wszystko będzie dobrze.

2,50 + 0,56 = 3,06.

Ważne jest, aby wiedzieć, że każdy ułamek dziesiętny można zamienić na liczbę pierwszą, ale nie każdy pojedynczy ułamek można zapisać jako ułamek dziesiętny. Tak więc z naszego przykładu 2,5 = 2¹/₂ i 0,56 = 14/25. Ale ułamek taki jak 1/6 będzie w przybliżeniu równy tylko 0,16667. Taka sama sytuacja będzie miała miejsce z innymi podobnymi liczbami - 2/7, 1/9 i tak dalej.

Wniosek

Wielu uczniów nie rozumie praktycznej stronydziałania z ułamkami odnoszą się do tego tematu beztrosko. Jednak w starszych klasach ta podstawowa wiedza pozwoli ci pękać jak orzechy w złożonych przykładach z logarytmami i znajdowaniem pochodnych. Dlatego warto raz dobrze zrozumieć działania z ułamkami, aby później nie ugryźć łokci z frustracji. W końcu jest mało prawdopodobne, aby nauczyciel w liceum wrócił do tego już minionego tematu. Każdy uczeń szkoły średniej powinien umieć wykonać te ćwiczenia.