Matematyka odbiegała od ogólnej filozofii okołow VI wieku pne e. i od tego momentu rozpoczął swój zwycięski marsz dookoła świata. Każdy etap rozwoju wprowadzał coś nowego - liczenie elementarne ewoluowało, przekształcało się w rachunek różniczkowy i całkowy, zmieniały się stulecia, formuły stawały się coraz bardziej zagmatwane, a moment nadszedł, gdy „zaczęła się najbardziej złożona matematyka - zniknęły z niej wszystkie liczby”. Ale co się za tym kryło?
Początek czasu
Liczby naturalne pojawiały się na równi z pierwszymioperacje matematyczne. Jeden kręgosłup, dwa kręgosłupy, trzy kręgosłupy… Pojawiły się dzięki indyjskim naukowcom, którzy wydedukowali pierwszy układ liczb pozycyjnych.
W starożytności liczbom nadawano mistykęZnaczy to, że największy matematyk Pitagoras uważał, że liczba jest podstawą stworzenia świata wraz z podstawowymi elementami - ogniem, wodą, ziemią, powietrzem. Jeśli weźmiemy pod uwagę wszystko tylko od strony matematycznej, czym jest liczba naturalna? Pole liczb naturalnych jest oznaczone jako N i jest nieskończoną serią liczb całkowitych i dodatnich: 1, 2, 3,… + ∞. Zero jest wykluczone. Używany głównie do liczenia towarów i wskazywania kolejności.
Co to jest liczba naturalna w matematyce? Aksjomaty Peano
Pole N jest podstawą, na której opiera się matematyka elementarna. Z biegiem czasu wyodrębniono pola liczb całkowitych, wymiernych, zespolonych.
Dzieła włoskiego matematyka Giuseppe Peanoumożliwiło dalsze strukturyzowanie arytmetyki, osiągnęło jej formalność i utorowało drogę do dalszych wniosków, które wykraczały poza zakres pola N.
- Jednostka jest uważana za liczbę naturalną.
- Liczba następująca po liczbie naturalnej jest naturalna.
- Przed jednostką nie ma liczby naturalnej.
- Jeśli liczba b występuje zarówno po liczbie c, jak i po liczbie d, to c = d.
- Aksjomat indukcji, który z koleipokazuje, czym jest liczba naturalna: jeśli jakieś stwierdzenie zależne od parametru jest prawdziwe dla liczby 1, to zakładamy, że działa dla liczby n z pola liczb naturalnych N. Wtedy to stwierdzenie jest również prawdziwe dla n = 1 z pola liczb naturalnych N ...
Podstawowe operacje na ciałach liczb naturalnych
Ponieważ pole N stało się pierwszym dla matematykiobliczeń, to do niego należą zarówno dziedziny definicji, jak i zakresy wartości szeregu poniższych operacji. Są zamknięte i nie. Główna różnica polega na tym, że operacje zamknięte gwarantują zachowanie wyniku w zbiorze N, niezależnie od liczb, których to dotyczy. Wystarczy, że są naturalne. Wynik pozostałych interakcji liczbowych nie jest już tak jednoznaczny i bezpośrednio zależy od tego, jakie liczby są zawarte w wyrażeniu, ponieważ może zaprzeczać podstawowej definicji. Tak więc zamknięte operacje:
- dodawanie - x + y = z, gdzie x, y, z są zawarte w polu N;
- mnożenie - x * y = z, gdzie x, y, z są zawarte w polu N;
- potęgowanie - xi, gdzie x, y znajdują się w polu N.
Pozostałe operacje, których wynik może nie istnieć w kontekście definicji „co jest liczbą naturalną”, są następujące:
- odejmowanie - x - y = z. Pole liczb naturalnych pozwala na to tylko wtedy, gdy x jest większe niż y;
- podział - x / y = z. Pole liczb naturalnych pozwala na to tylko wtedy, gdy z jest podzielne przez y bez reszty, to znaczy całkowicie.
Własności liczb należących do pola N
Całe dalsze rozumowanie matematyczne będzie oparte na następujących właściwościach, najbardziej banalnych, ale nie mniej ważnych.
- Ruchoma własność dodawania to x + y = y + x, gdzie liczby x, y są zawarte w polu N. Lub dobrze znane „suma nie zmienia się od zmiany miejsc wyrazów”.
- Ruchoma właściwość mnożenia to x * y = y * x, gdzie liczby x, y są zawarte w polu N.
- Kombinowana właściwość dodawania - (x + y) + z = x + (y + z), gdzie x, y, z są zawarte w polu N.
- Kombinacyjna właściwość mnożenia - (x * y) * z = x * (y * z), gdzie liczby x, y, z są zawarte w polu N.
- właściwość dystrybucji - x (y + z) = x * y + x * z, gdzie liczby x, y, z są zawarte w polu N.
Stół Pitagorasa
Jeden z pierwszych kroków do poznania wszystkichStruktura matematyki elementarnej, po tym, jak sami zorientowali się, które liczby nazywane są naturalnymi, to tablica pitagorejska. Można go postrzegać nie tylko z punktu widzenia nauki, ale także jako cenny zabytek naukowy.
Ta tabliczka mnożenia już przeszłaczas, szereg zmian: usunięto z niego zero, a liczby od 1 do 10 oznaczają siebie, bez uwzględnienia zamówień (setki, tysiące ...). Jest to tabela, w której nagłówki wierszy i kolumn są liczbami, a zawartość komórek ich przecięcia jest równa ich iloczynowi.
W praktyce pedagogicznej ostatnich dziesięcioleciistniała potrzeba zapamiętania tablicy pitagorejskiej „po kolei”, to znaczy najpierw było zapamiętywanie. Pomnożenie przez 1 zostało wykluczone, ponieważ wynik wynosił 1 lub więcej. Tymczasem w tabeli gołym okiem widać wzór: iloczyn liczb rośnie o jeden krok, co jest równe tytułowi wiersza. Zatem drugi czynnik pokazuje nam, ile razy musimy wziąć pierwszy, aby uzyskać pożądany produkt. Ten system jest znacznie wygodniejszy niż ten, który był praktykowany w średniowieczu: nawet rozumiejąc, czym jest liczba naturalna i jak bardzo jest trywialna, ludziom udało się skomplikować ich codzienne liczenie, używając systemu opartego na potęgach dwójki.
Podzbiór jako kolebka matematyki
W tej chwili pole liczb naturalnych Ntraktowane tylko jako jeden z podzbiorów liczb zespolonych, ale nie oznacza to, że są one mniej wartościowe w nauce. Liczba naturalna to pierwsza rzecz, której dziecko uczy się podczas studiowania siebie i otaczającego go świata. Jeden palec, dwa palce ... Dzięki niemu człowiek rozwija logiczne myślenie, a także umiejętność określenia przyczyny i wydedukowania skutku, przygotowując grunt pod wielkie odkrycia.
