Seria Maclaurin i dekompozycja pewnych funkcji

Studenci matematyki wyższej powinni wiedziećże suma pewnego szeregu potęgowego należącego do przedziału zbieżności podanego nam szeregu jest funkcją ciągłą i nieskończoną liczbę razy zróżnicowaną. Powstaje pytanie: czy można stwierdzić, że dana funkcja arbitralna f (x) jest sumą pewnego szeregu potęgowego? To znaczy, w jakich warunkach f-ija f (x) może być reprezentowane przez szereg potęg? Znaczenie takiego pytania polega na tym, że można w przybliżeniu zastąpić f-yu f (x) sumą kilku pierwszych wyrazów szeregu potęgowego, czyli wielomianem. Takie zastąpienie funkcji dość prostym wyrażeniem - wielomianem - jest również wygodne do rozwiązania niektórych problemów analizy matematycznej, a mianowicie: przy rozwiązywaniu całek, przy obliczaniu równań różniczkowych itp.

Udowodniono, że dla niektórych f-u i f (x), w których można obliczyć pochodne do rzędu (n + 1), w tym ostatniego, w sąsiedztwie (α - R; x₀ + R) w jakimś punkcie х = α, obowiązuje następujący wzór:

Ta formuła nosi imię słynnego naukowca Brook Taylora. Seria uzyskana z poprzedniej nosi nazwę serii Maclaurin:

Zasada, która umożliwia wykonanie rozszerzenia w serii Maclaurin:

1. Określ pochodne pierwszego, drugiego, trzeciego ... rzędu.
2. Oblicz, czemu są równe pochodne przy x = 0.
3. Zapisz szereg Maclaurina dla tej funkcji, a następnie określ przedział jego zbieżności.
4. Określ przedział (-R; R), w którym pozostała część wzoru Maclaurina

R_n(x) -> 0 jako n -> nieskończoność. Jeśli taka istnieje, w niej funkcja f (x) musi pokrywać się z sumą szeregu Maclaurina.

Rozważmy teraz szereg Maclaurina dla poszczególnych funkcji.

1. Zatem pierwszym będzie f (x) = e^x... Oczywiście, dzięki swoim osobliwościom, taka funkcja ma pochodne bardzo różnych rzędów, if^(k)(x) = e^z, gdzie k jest równe wszystkim liczbom naturalnym. Zastąp x = 0. Otrzymujemy f^(k)(0) = e⁰= 1, k = 1,2 ... Na podstawie powyższego szereg e^x będzie wyglądać tak:

2. Szereg Maclaurina dla funkcji f (x) = sin x. Wyjaśnijmy od razu, że funkcja dla wszystkich niewiadomych będzie miała pochodne; ponadto f^„(x) = cos x = sin (x + n / 2), f^„”(x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ..., f^(k)(x) = sin (x + k * n / 2), gdzie k jest równe dowolnej liczbie naturalnej. Oznacza to, że po wykonaniu prostych obliczeń możemy dojść do wniosku, że szereg dla f (x) = sin x będzie miał następującą postać:

3. Spróbujmy teraz rozważyć f-yu f (x) = cos x. Dla wszystkich niewiadomych ma pochodne dowolnego rzędu i | f^(k)(x) | = | cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Ponownie, po wykonaniu pewnych obliczeń, otrzymujemy, że szereg dla f (x) = cos x będzie wyglądał następująco:

Dlatego wymieniliśmy najważniejsze funkcje, któremożna rozszerzyć do serii Maclaurin, ale są one uzupełniane przez szereg Taylora dla niektórych funkcji. Teraz je również wymienimy. Warto również zauważyć, że serie Taylora i Maclaurina są ważną częścią warsztatów rozwiązywania szeregów w matematyce wyższej. Tak więc Taylor ma rangę.

1. Pierwsza będzie szeregiem dla f-ii f (x) = ln (1 + x).Podobnie jak w poprzednich przykładach, dla danego f (x) = ln (1 + x), możemy dodać szereg używając ogólnej postaci szeregu Maclaurina. jednak serię Maclaurin można uzyskać znacznie prościej dla tej funkcji. Po scałkowaniu pewnego szeregu geometrycznego otrzymujemy szereg dla f (x) = ln (1 + x) takiej próbki:

2. Drugim, ostatnim w naszym artykule, będzie szereg dla f (x) = arctan x. Dla x należącego do przedziału [-1; 1] rozkład jest prawidłowy:

To wszystko. W tym artykule przeanalizowano najczęściej używane serie Taylora i Maclaurina w matematyce wyższej, w szczególności na uniwersytetach ekonomicznych i technicznych.