Kansrekening probleem met oplossing. Kansrekening voor dummies

Een wiskundecursus bereidt veel voor op schoolkinderenverrassingen, waarvan er één een probleem is in de kansrekening. Met de oplossing van dergelijke taken hebben studenten in bijna honderd procent van de gevallen een probleem. Om dit probleem te begrijpen en te begrijpen, moet u de basisregels, axioma's en definities kennen. Om de tekst in het boek te begrijpen, moet u alle afkortingen kennen. We stellen voor om dit allemaal te leren.

Wetenschap en zijn toepassingen

Omdat we een spoedcursus in theorie aanbiedenkansen voor dummies ”, moet u eerst basisconcepten en afkortingen introduceren. Laten we om te beginnen het concept van "waarschijnlijkheidstheorie" definiëren. Wat voor soort wetenschap is dit en waarvoor dient het? Kansrekening is een van de takken van de wiskunde die willekeurige verschijnselen en grootheden bestudeert. Ze houdt ook rekening met de patronen, eigenschappen en bewerkingen die met deze willekeurige variabelen worden uitgevoerd. Waar is het voor? De wetenschap raakte wijdverspreid in de studie van natuurlijke verschijnselen. Alle natuurlijke en fysieke processen zijn niet compleet zonder de aanwezigheid van toeval. Zelfs als de resultaten zo nauwkeurig mogelijk zijn geregistreerd tijdens het experiment, is het resultaat waarschijnlijk niet hetzelfde als dezelfde test wordt herhaald.

Voorbeelden van problemen in de kansrekening hebben wewe zullen het zeker overwegen, u kunt het zelf zien. De uitkomst is afhankelijk van veel verschillende factoren waarmee bijna geen rekening kan worden gehouden of waarmee je je kunt registreren, maar die toch een enorme impact hebben op de uitkomst van de ervaring. Opvallende voorbeelden zijn het probleem van het bepalen van het traject van de planeten of het bepalen van de weersvoorspelling, de kans om een ​​bekend persoon tegen te komen op weg naar het werk en het bepalen van de spronghoogte van een atleet. De kansrekening is ook een grote hulp voor makelaars op de effectenbeurzen. Na drie of vier voorbeelden hieronder, wordt een probleem in de kansrekening dat vroeger problematisch was, een koud kunstje voor u.

events

Zoals eerder vermeld, bestudeert de wetenschap gebeurtenissen. Waarschijnlijkheidstheorie, we zullen voorbeelden van het oplossen van problemen een beetje later beschouwen, bestudeert slechts één type - willekeurig. Maar niettemin is het noodzakelijk om te weten dat gebeurtenissen van drie soorten kunnen zijn:

• Onmogelijk.
• Geloofwaardig.
• Willekeurig.

We stellen voor om ze allemaal een beetje te bespreken. Een onmogelijke gebeurtenis zal onder geen enkele omstandigheid plaatsvinden. Voorbeelden zijn: ijskoud water bij positieve temperaturen, een kubus uit een zak met ballen trekken.

Een betrouwbaar evenement gebeurt altijd met100% garantie als aan alle voorwaarden is voldaan. Bijvoorbeeld: je hebt een salaris ontvangen voor je werk, een diploma hoger beroepsonderwijs behaald, je hebt gewetensvol gestudeerd, examens gehaald en je diploma verdedigd, enzovoort.

Met willekeurige gebeurtenissen zijn de dingen een beetje ingewikkelder: in de loop van het experiment kan het gebeuren of niet, bijvoorbeeld door een aas uit de stapel kaarten te trekken en niet meer dan drie pogingen te doen. Het resultaat kan zowel bij de eerste poging worden verkregen als, in het algemeen, niet worden verkregen. Het is de waarschijnlijkheid dat zich een gebeurtenis voordoet die de wetenschap bestudeert.

Waarschijnlijkheid

In algemene zin is dit een beoordeling van de mogelijkheid van succeshet resultaat van de ervaring waarop de gebeurtenis plaatsvindt. Waarschijnlijkheid wordt op kwalitatief niveau beoordeeld, vooral als kwantificering onmogelijk of moeilijk is. Een probleem in de kansrekening met een oplossing, meer bepaald met een schatting van de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis, impliceert het vinden van het zeer mogelijke aandeel van een succesvol resultaat. Waarschijnlijkheid in de wiskunde is een numeriek kenmerk van een gebeurtenis. Het heeft waarden van nul tot één nodig, aangegeven met de letter P. Als P gelijk is aan nul, dan kan de gebeurtenis niet plaatsvinden, als het er één is, zal de gebeurtenis plaatsvinden met een waarschijnlijkheid van honderd procent. Hoe meer P er één benadert, hoe groter de kans op een succesvol resultaat, en omgekeerd, als het bijna nul is, zal de gebeurtenis met een lage waarschijnlijkheid plaatsvinden.

Afkortingen

Een probleem in de kansrekening waar u binnenkort mee te maken krijgt, kan de volgende afkortingen bevatten:

• !;
• {};
• N;
• P en P (X);
• A, B, C, enz.
• n;
• m.

Enkele andere zijn ook mogelijk: indien nodig wordt aanvullende uitleg toegevoegd. Om te beginnen stellen we voor om de hierboven gepresenteerde afkortingen te verduidelijken. De eerste op onze lijst is de faculteit. Laten we voor de duidelijkheid voorbeelden geven: 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 of 3! = 1 * 2 * 3. Verder worden bepaalde sets tussen accolades geschreven, bijvoorbeeld: {1; 2; 3; 4; ..; n} of {10; 140; 400; 562}. De volgende aanduiding is een reeks natuurlijke getallen, wat vrij gebruikelijk is in taken over kansrekening. Zoals eerder vermeld, is P de kans, en P (X) is de kans dat gebeurtenis X plaatsvindt. Gebeurtenissen worden aangeduid in hoofdletters van het Latijnse alfabet, bijvoorbeeld: A - een witte bal werd gevangen, B - blauw, C - rood, of `` respectievelijk. De kleine letter n is het aantal mogelijke uitkomsten en m is het aantal succesvolle. Vanaf hier krijgen we de regel voor het vinden van de klassieke waarschijnlijkheid in elementaire problemen: Р = m / n. Waarschijnlijkheidstheorie "voor dummies" is waarschijnlijk beperkt tot deze kennis. Nu, om te consolideren, gaan we naar de oplossing.

Taak 1. Combinatoriek

De studentengroep bestaat uit dertig personen,waaruit het nodig is om de hoofdman, zijn plaatsvervanger en de vakbondsleider te kiezen. U moet een aantal manieren vinden om deze actie uit te voeren. Een vergelijkbare taak is te vinden op het examen. De waarschijnlijkheidstheorie, de oplossing van de problemen die we nu beschouwen, kan problemen omvatten uit het verloop van de combinatoriek, het vinden van de klassieke waarschijnlijkheid, geometrische en problemen voor basisformules. In dit voorbeeld lossen we een taak op uit de cursus combinatoriek. Laten we verder gaan met de oplossing. Deze taak is de eenvoudigste:

1. n1 = 30 - mogelijke hoofden van de studentengroep;
2. n2 = 29 - degenen die de functie van plaatsvervanger kunnen aannemen;
3. n3 = 28 mensen solliciteren naar een vakbondsfunctie.

Het enige wat we hoeven te doen is het mogelijke aantal opties te vinden, dat wil zeggen alle indicatoren vermenigvuldigen. Als resultaat krijgen we: 30 * 29 * 28 = 24360.

Dit zal het antwoord zijn op de gestelde vraag.

Taak 2. Permutatie

6 deelnemers zullen spreken op de conferentie, bestellingbepaald door lot. We moeten het aantal mogelijke trekkingsopties vinden. In dit voorbeeld overwegen we een permutatie van zes elementen, dat wil zeggen dat we er 6 moeten vinden!

We hebben in de afkortingsparagraaf al vermeld dat ditdit en hoe het wordt berekend. In totaal blijken er 720 trekkingsmogelijkheden te zijn. Op het eerste gezicht heeft een moeilijke taak een volledig korte en eenvoudige oplossing. Dit zijn de taken die de kansrekening beschouwt. In de volgende voorbeelden zullen we bekijken hoe problemen op een hoger niveau kunnen worden opgelost.

Probleem 3

Een groep studenten van vijfentwintig personenmoeten worden onderverdeeld in drie subgroepen van zes, negen en tien. We hebben: n = 25, k = 3, n1 = 6, n2 = 9, n3 = 10. Het blijft om de waarden in de gewenste formule te vervangen, we krijgen: N25 (6,9,10). Na eenvoudige berekeningen krijgen we het antwoord - 16 360 143 800. Als de taak niet zegt dat het nodig is om een ​​numerieke oplossing te verkrijgen, dan kun je deze in de vorm van faculteiten geven.

Taak 4

Drie mensen vroegen nummers van één tot tien.Zoek de kans dat iemand dezelfde nummers heeft. Eerst moeten we het aantal van alle uitkomsten te weten komen - in ons geval zijn dat duizend, dat wil zeggen tien tot de derde macht. Nu zullen we het aantal opties vinden als iedereen verschillende getallen vroeg, hiervoor vermenigvuldigen we tien, negen en acht. Waar kwamen deze cijfers vandaan? De eerste denkt aan een getal, hij heeft tien opties, de tweede heeft er al negen en de derde moet kiezen uit de acht overgebleven, dus we krijgen 720 mogelijke opties. Zoals we eerder hebben berekend, zijn er in totaal 1000 varianten en 720 zonder herhalingen, daarom zijn we geïnteresseerd in de resterende 280. Nu hebben we een formule nodig om de klassieke kans te vinden: P =. We kregen het antwoord: 0.28.