Wat is een raaklijn aan een cirkel? Eigenschappen van een raaklijn aan een cirkel. Gemeenschappelijke raaklijn aan twee cirkels

Secanten, raaklijnen - dit alles was honderden keren te horen in meetkundelessen. Maar het afstuderen van school is voorbij, de jaren gaan voorbij en al deze kennis is vergeten. Wat moet er worden onthouden?

essence

De term "raaklijn aan een cirkel" -teken,waarschijnlijk voor iedereen. Maar bijna iedereen zal de definitie ervan snel kunnen formuleren. Ondertussen is een raaklijn een rechte lijn die in hetzelfde vlak ligt met een cirkel die deze slechts op één punt snijdt. Er kan een grote verscheidenheid aan zijn, maar ze hebben allemaal dezelfde eigenschappen, die hieronder worden besproken. Zoals u wellicht vermoedt, is het contactpunt de plaats waar de cirkel en de lijn elkaar kruisen. In elk specifiek geval is het er één, maar als er meer zijn, is het al een secans.

Geschiedenis van ontdekking en studie

Het concept van een raaklijn dateert uit de oudheid.De constructie van deze rechte lijnen, eerst tot een cirkel, en vervolgens tot ellipsen, parabolen en hyperbolen met behulp van een liniaal en een kompas, werd zelfs in de beginfase van de ontwikkeling van de geometrie uitgevoerd. Natuurlijk behield de geschiedenis de naam van de ontdekker niet, maar het is duidelijk dat zelfs in die tijd mensen zich terdege bewust waren van de eigenschappen van de raaklijn aan een cirkel.

In moderne tijden laaide de belangstelling voor dit fenomeen opnogmaals - een nieuwe ronde van het bestuderen van dit concept begon in combinatie met de ontdekking van nieuwe curven. Dus introduceerde Galileo het concept van een cycloïde, en Fermat en Descartes raakten eraan. Wat de cirkels betreft, het lijkt erop dat er geen geheimen meer waren voor de ouden in dit gebied.

eigenschappen

De straal die naar het snijpunt wordt getrokken, staat loodrecht op de lijn. het

de belangrijkste, maar niet de enige eigenschap dieheeft een raaklijn aan de cirkel. Een ander belangrijk kenmerk bevat al twee rechte lijnen. Dus door een punt dat buiten de cirkel ligt, kun je twee raaklijnen tekenen, terwijl hun segmenten gelijk zijn. Er is nog een stelling over dit onderwerp, maar deze wordt zelden gehaald in het kader van een standaard schoolcursus, hoewel het buitengewoon handig is om sommige problemen op te lossen. Het klinkt zo. Vanaf een punt buiten de cirkel worden er een raaklijn en een secans naartoe getrokken. Er worden segmenten AB, AC en AD gevormd. A is het snijpunt van lijnen, B is het raakpunt, C en D zijn snijpunten. In dit geval is de volgende gelijkheid waar: de lengte van de raaklijn aan de cirkel, in het kwadraat, is gelijk aan het product van de segmenten AC en AD.

Het bovenstaande heeft een belangrijk gevolg.Voor elk punt van de cirkel kunt u een raaklijn tekenen, maar slechts één. Het bewijs hiervan is vrij eenvoudig: theoretisch als we de loodlijn van de straal erop laten vallen, ontdekken we dat de gevormde driehoek niet kan bestaan. En dit betekent dat de raaklijn de enige is.

Gebouw

Naast andere problemen in de geometrie is er een speciale categorie, meestal niet

geliefd bij leerlingen en studenten. Om taken uit deze categorie op te lossen heb je alleen een kompas en een liniaal nodig. Dit zijn bouwtaken. Er zijn ook voor het bouwen van een raaklijn.

Dus, gegeven een cirkel en een punt daarbuitengrenzen. En je moet er een raaklijn doorheen trekken. Hoe kan dit worden gedaan? Allereerst moet u een segment tekenen tussen het middelpunt van de cirkel O en een bepaald punt. Gebruik vervolgens een kompas en deel het in twee. Om dit te doen, moet u een straal instellen - iets meer dan de helft van de afstand tussen het middelpunt van de oorspronkelijke cirkel en dit punt. Dan moet je twee elkaar kruisende bogen bouwen. Bovendien hoeft de straal van het kompas niet te worden gewijzigd en is het middelpunt van elk deel van de cirkel respectievelijk het beginpunt en O. De snijpunten van de bogen moeten worden verbonden, waardoor het segment in tweeën wordt gedeeld. Stel een straal in die gelijk is aan deze afstand op het kompas. Bouw vervolgens met het middelpunt op het snijpunt nog een cirkel. Zowel het beginpunt als de O zullen erop liggen. In dit geval zullen er nog twee snijpunten zijn met de cirkel die in de opgave wordt gegeven. Zij zijn de aanspreekpunten voor het oorspronkelijk opgegeven punt.

interessant

Het was de constructie van raaklijnen aan de cirkel die tot de geboorte leidde

differentiaalrekening.Het eerste werk over dit onderwerp werd gepubliceerd door de beroemde Duitse wiskundige Leibniz. Het voorzag in de mogelijkheid om maxima, minima en raaklijnen te vinden, ongeacht fractionele en irrationele waarden. Nu wordt het ook voor veel andere berekeningen gebruikt.

Bovendien wordt de raaklijn aan de cirkel geassocieerd metde geometrische betekenis van de raaklijn. Hieruit komt de naam vandaan. Vertaald uit het Latijn tangens - "tangens". Dit concept wordt dus niet alleen geassocieerd met geometrie en differentiaalrekening, maar ook met trigonometrie.

Twee cirkels

De raaklijn heeft niet altijd invloed op slechts één figuur.Als een enorme reeks rechte lijnen naar één cirkel kan worden getrokken, waarom dan niet andersom? Kan. Maar de taak is in dit geval serieus gecompliceerd, omdat de raaklijn aan twee cirkels mogelijk geen punten passeert en de relatieve positie van al deze figuren erg kan zijn

anders.

Soorten en variëteiten

Als het gaat om twee cirkels en een ofmeerdere rechte lijnen, ook al is bekend dat dit raaklijnen zijn, wordt niet meteen duidelijk hoe al deze figuren zich ten opzichte van elkaar bevinden. Op basis hiervan worden verschillende rassen onderscheiden. Cirkels kunnen dus een of twee gemeenschappelijke punten hebben of helemaal niet. In het eerste geval zullen ze elkaar kruisen en in het tweede geval zullen ze elkaar raken. En hier worden twee soorten onderscheiden. Als de ene cirkel als het ware in de tweede is genest, wordt de aanraking intern genoemd, zo niet, dan extern. Het is mogelijk om de relatieve positie van figuren te begrijpen, niet alleen op basis van de tekening, maar ook door informatie te hebben over de som van hun stralen en de afstand tussen hun middelpunten. Als deze twee waarden gelijk zijn, raken de cirkels elkaar. Als de eerste meer is, snijden ze elkaar, en als deze minder is, hebben ze geen gemeenschappelijke punten.

Het is hetzelfde met rechte lijnen. Voor twee cirkels die geen gemeenschappelijke punten hebben, kan dat

bouw vier raaklijnen. Twee van hen zullen de vormen kruisen, ze worden intern genoemd. Een paar anderen zijn extern.

Als we het hebben over cirkels die er een hebbengemeenschappelijk punt, de taak is sterk vereenvoudigd. Het is een feit dat ze in dit geval voor elke relatieve positie slechts één raaklijn hebben. En het zal het punt van hun kruispunt passeren. De constructie zal dus geen problemen opleveren.

Als de figuren twee snijpunten hebben, danvoor hen kan een rechte lijn worden geconstrueerd die raakt aan de cirkel van zowel de ene als de tweede, maar alleen de buitenste. De oplossing voor dit probleem is vergelijkbaar met wat hieronder wordt besproken.

Problemen oplossen

Zowel de interne als externe raaklijn aan tweecirkels, in constructie zijn niet zo eenvoudig, hoewel dit probleem kan worden opgelost. Feit is dat hiervoor een hulpfiguur wordt gebruikt, denk dus zelf aan deze methode

nogal problematisch. Dus, gegeven twee cirkels met verschillende stralen en centra O1 en O2. Voor hen moet je twee paar raaklijnen bouwen.

Allereerst nabij het midden van de grotere cirkelje moet een extra bouwen. In dit geval moet het verschil tussen de stralen van de twee originele figuren op het kompas worden vastgesteld. Raaklijnen aan de hulpcirkel worden geconstrueerd vanuit het midden van de kleinere cirkel. Daarna worden vanaf O1 en O2 loodlijnen op deze lijnen getekend totdat ze de originele figuren kruisen. Zoals volgt uit de hoofdeigenschap van de raaklijn, worden de benodigde punten op beide cirkels gevonden. Het probleem is opgelost, althans het eerste deel.

Om interne raaklijnen op te bouwen, zul je praktisch moeten oplossen

een vergelijkbare taak.Je hebt weer een secundaire vorm nodig, maar deze keer is de straal gelijk aan de som van de originele. Vanuit het midden van een van deze cirkels worden er raaklijnen naar getrokken. Het verdere verloop van de oplossing kan worden begrepen uit het vorige voorbeeld.

Raaklijn aan een cirkel of zelfs twee of meer -niet zo'n moeilijke taak. Natuurlijk lossen wiskundigen al lang niet meer dergelijke problemen handmatig op en vertrouwen ze berekeningen toe aan speciale programma's. Maar denk niet dat het nu niet nodig is om het zelf te kunnen doen, want om een ​​taak voor een computer correct te formuleren, moet je veel doen en begrijpen. Helaas is er de vrees dat na de definitieve overgang naar de toetsvorm van kennisbeheersing bouwtaken voor studenten steeds meer moeilijkheden zullen opleveren.

Wat betreft het vinden van gemeenschappelijke raaklijnen voor een groot aantal cirkels, dit is niet altijd mogelijk, zelfs niet als ze in hetzelfde vlak liggen. Maar in sommige gevallen kun je zo'n rechte lijn vinden.

Voorbeelden van het leven

Een gemeenschappelijke raaklijn aan twee cirkels is vaakkomt in de praktijk voor, hoewel het niet altijd merkbaar is. Transportbanden, bloksystemen, poelietransportbanden, draadspanning in een naaimachine en zelfs gewoon een fietsketting - dit zijn allemaal voorbeelden uit het leven. Dus je moet niet denken dat geometrische problemen alleen in theorie bestaan: ze vinden praktische toepassing in engineering, natuurkunde, constructie en vele andere gebieden.