Kas ir naturālais skaitlis? Vēsture, darbības joma, īpašības

Matemātika no vispārējās filozofijas izcēlās apmēram6. gadsimtā pirms mūsu ēras e., un no šī brīža sāka savu uzvarošo gājienu apkārt pasaulei. Katrs attīstības posms ieviesa kaut ko jaunu - elementārā skaitīšana attīstījās, pārveidojās diferenciālā un integrālā aprēķinā, gadsimti mainījās, formulas kļuva mulsinošākas un pienāca brīdis, kad “sākās vissarežģītākā matemātika - no tās pazuda visi skaitļi”. Bet kāds bija pamats?

Laika sākums

Dabiskie skaitļi parādījās vienā līmenī ar pirmomatemātiskās darbības. Viens mugurkauls, divi mugurkaula, trīs mugurkaula ... Tie parādījās, pateicoties Indijas zinātniekiem, kuri secināja pirmo pozicionālo skaitļu sistēmu.

Vārds "pozicionitāte" nozīmē, ka atrašanās vietakatrs cipars ciparā ir stingri noteikts un atbilst tā kategorijai. Piemēram, skaitļi 784 un 487 ir vienādi skaitļi, taču skaitļi nav līdzvērtīgi, jo pirmajā ir 7 simti, bet otrajā - tikai 4. Indiāņu jauninājumus pārņēma arābi, kas atnesa skaitļus tādā formā, kādu mēs tagad zinām.

Senos laikos numuriem tika piešķirts mistisksnozīmē, lielākais matemātiķis Pitagors uzskatīja, ka skaitlis ir pasaules radīšanas pamatā kopā ar pamatelementiem - uguni, ūdeni, zemi, gaisu. Ja mēs visu aplūkojam tikai no matemātiskās puses, tad kāds ir dabiskais skaitlis? Dabisko skaitļu lauks tiek apzīmēts kā N un ir bezgalīga veselu skaitļu un pozitīvu skaitļu virkne: 1, 2, 3,… + ∞. Nulle ir izslēgta. Izmanto galvenokārt priekšmetu skaitīšanai un pasūtījuma norādīšanai.

Kas ir dabiskais skaitlis matemātikā? Peano aksiomas

N lauks ir pamats, uz kuru balstās elementārā matemātika. Laika gaitā tika izdalīti veselu skaitļu lauki, racionāli, kompleksi skaitļi.

Itāļu matemātiķa Džuzepes Peano darbipadarīja iespējamu aritmētikas tālāku strukturēšanu, sasniedza tās formalitāti un pavēra ceļu turpmākiem secinājumiem, kas pārsniedza N jomas darbības jomu.

Kas ir dabiskais skaitlis, tas tika noskaidrots iepriekš vienkāršā valodā, tālāk mēs apsvērsim matemātisko definīciju, kuras pamatā ir Peano aksiomas.

• Vienība tiek uzskatīta par dabisku skaitli.
• Skaits, kas seko dabiskajam skaitlim, ir dabisks.
• Vienības priekšā nav dabiska numura.
• Ja skaitlis b seko gan skaitlim c, gan skaitlim d, tad c = d.
• Indukcijas aksioma, kas savukārtparāda, kas ir dabiskais skaitlis: ja kāds apgalvojums, kas atkarīgs no parametra, ir taisnība skaitlim 1, tad mēs pieņemam, ka tas darbojas skaitlim n no dabisko skaitļu lauka N. Tad apgalvojums ir pareizs arī attiecībā uz n = 1 no dabisko skaitļu lauka N ...

Dabisko skaitļu lauka pamatdarbības

Tā kā lauks N kļuva par pirmo matemātiskoaprēķinus, tad tieši tam pieder gan vairāku zemāk norādīto darbību definīcijas, gan vērtību domēni. Viņi ir slēgti un nē. Galvenā atšķirība ir tā, ka slēgtajām operācijām tiek garantēta rezultātu noturēšana noteiktā N robežās neatkarīgi no iesaistītajiem skaitļiem. Pietiek ar to, ka tie ir dabiski. Atlikušās skaitliskās mijiedarbības rezultāts vairs nav tik viennozīmīgs un ir tieši atkarīgs no skaitļiem, kas ir iesaistīti izteiksmē, jo tas var būt pretrunā ar pamata definīciju. Tātad slēgtas operācijas:

• papildinājums - x + y = z, kur x, y, z ir iekļauti N laukā;
• reizināšana - x * y = z, kur x, y, z ir iekļauti N laukā;
• eksponācija - x^un, kur x, y ir iekļauti laukā N.

Pārējās darbības, kuru rezultāts, iespējams, nepastāv definīcijas "kas ir dabisks skaitlis" kontekstā, ir šādas:

• atņemšana - x - y = z. Dabisko skaitļu lauks to pieļauj tikai tad, ja x ir lielāks par y;
• dalījums - x / y = z. Dabisko skaitļu lauks to pieļauj tikai tad, ja z dalās ar y bez atlikuma, tas ir, pilnīgi.

Laukam N piederošo skaitļu īpašības

Visu turpmāko matemātisko pamatojumu pamatā būs šādas īpašības, kas ir visniecīgākās, bet ne mazāk svarīgas.

• Pievienošanas kustamais īpašums ir x + y = y + x, kur skaitļi x, y ir iekļauti laukā N. Vai arī labi zināmā "summa nemainās no terminu vietu maiņas".
• Reizināšanas kustamais īpašums ir x * y = y * x, kur skaitļi x, y ir iekļauti laukā N.
• Kombinācijas īpašība - (x + y) + z = x + (y + z), kur x, y, z ir iekļauti laukā N.
• Reizināšanas kombinācijas īpašība - (x * y) * z = x * (y * z), kur skaitļi x, y, z ir iekļauti laukā N.
• sadalījuma īpašība - x (y + z) = x * y + x * z, kur skaitļi x, y, z ir iekļauti N laukā.

Pitagora galds

Viens no pirmajiem soļiem visu zināšanāelementārās matemātikas struktūra pēc tam, kad viņi paši ir izdomājuši, kurus skaitļus sauc par dabiskiem, ir Pitagora tabula. To var aplūkot ne tikai no zinātnes viedokļa, bet arī kā vērtīgu zinātnisku pieminekli.

Šī reizināšanas tabula ir veiktalaiks, vairākas izmaiņas: no tā tika noņemta nulle, un skaitļi no 1 līdz 10 apzīmē sevi, neņemot vērā pasūtījumus (simtiem, tūkstošiem ...). Tā ir tabula, kurā rindu un kolonnu virsraksti ir skaitļi, un to krustojuma šūnu saturs ir vienāds ar to reizinājumu.

Pēdējo gadu desmitu mācību praksēradās nepieciešamība iegaumēt Pitagora tabulu "kārtībā", tas ir, vispirms notika iegaumēšana. Reizināšana ar 1 tika izslēgta, jo rezultāts bija 1 vai vairāk. Tikmēr tabulā ar neapbruņotu aci jūs varat redzēt paraugu: skaitļu reizinājums aug par vienu soli, kas ir vienāds ar līnijas nosaukumu. Tādējādi otrais faktors mums parāda, cik reizes mums jāņem pirmais, lai iegūtu vēlamo produktu. Šī sistēma ir daudz ērtāka nekā tā, kas tika izmantota viduslaikos: pat izprotot, kas ir dabisks skaitlis un cik tas ir niecīgs, cilvēkiem izdevās sarežģīt ikdienas skaitīšanu, izmantojot sistēmu, kuras pamatā ir divu spēks.

Apakškopa kā matemātikas šūpulis

Šobrīd dabisko skaitļu lauks Nuzskatāma tikai par vienu no kompleksa skaitļu apakškopām, taču tas tos nepadara mazāk vērtīgus zinātnē. Dabiskais skaitlis ir pirmā lieta, ko bērns iemācās, pētot sevi un apkārtējo pasauli. Viens pirksts, divi pirksti ... Pateicoties viņam, cilvēks attīsta loģisko domāšanu, kā arī spēju noteikt cēloni un izsecināt seku, sagatavojot augsni lieliem atklājumiem.