Kas ir simetrija matemātikā? Definīcija un piemēri

Izprotiet simetriju matemātikā,ir nepieciešams tālāk apgūt algebras, ģeometrijas pamata un progresīvās tēmas. Tas ir svarīgi arī izpratnei par zīmēšanu, arhitektūru, zīmēšanas noteikumiem. Neskatoties uz ciešo saikni ar visprecīzāko zinātni - matemātiku, simetrija ir svarīga māksliniekiem, gleznotājiem, radītājiem, kā arī tiem, kas nodarbojas ar zinātnisko darbību, un jebkurā jomā.

Vispārīga informācija

Ne tikai matemātika, bet arī dabaszinātnespamatā ir simetrijas jēdziens. Turklāt tas ir sastopams ikdienas dzīvē, ir viens no mūsu Visuma būtības pamatiem. Izprotot simetriju matemātikā, jāpiemin, ka šai parādībai ir vairāki veidi. Ir ierasts runāt par šādām iespējām:

• Divpusējs, tas ir, kad simetrija ir spogulis. Šo zinātnes aprindu parādību parasti sauc par "divpusēju".
• N-n secība. Šai koncepcijai galvenā parādība ir rotācijas leņķis, ko aprēķina, dalot 360 grādus ar noteiktu summu. Turklāt iepriekš tiek noteikta ass, ap kuru tiek veikti šie pagriezieni.
• Radiāls, kad tiek novērota simetrijas parādība,ja pagriezienus veic patvaļīgi kādā leņķī nejauši pēc lieluma. Asis tiek izvēlēts arī neatkarīgi. SO (2) grupa tiek izmantota, lai aprakstītu šo parādību.
• Sfērisks. Šajā gadījumā mēs runājam par trim dimensijām, kurās objekts tiek pagriezts, izvēloties patvaļīgus leņķus. Tiek izcelts īpašs izotropijas gadījums, kad parādība kļūst lokāla, raksturīga videi vai telpai.
• Rotācijas, apvienojot abas iepriekš aprakstītās grupas.
• Lorenca nemainīgais, kad notiek patvaļīgas rotācijas. Šāda veida simetrijai galvenais jēdziens ir “Minkovska laiktelpa”.
• Super, definēts kā bozonu aizstāšana ar fermioniem.
• Augstākais, kas atklāts grupas analīzes gaitā.
• Tulkojums, kad notiek kosmosa nobīdes, kurām zinātnieki atklāj virzienu, attālumu. Pamatojoties uz iegūtajiem datiem, tiek veikta salīdzinošā analīze, lai atklātu simetriju.
• Gauge novērota neatkarības gadījumāgabarīta teorija ar atbilstošām transformācijām. Šeit īpaša uzmanība tiek pievērsta lauka teorijai, tostarp koncentrējoties uz Janga-Millsa idejām.
• Kaino, kas pieder pie elektronikas klaseskonfigurācijas. Matemātikai (6. klase) nav ne jausmas, kas ir šāda simetrija, jo tā ir augstākas pakāpes zinātne. Fenomens ir saistīts ar sekundāru periodiskumu. Tas tika atklāts E. Bīrona zinātniskā darba laikā. Terminoloģiju ieviesa S. Ščukarevs.

Spoguļots

Skolas laikā studenti praktiskivienmēr lūdza veikt darbu "Simetrija ap mums" (matemātikas projekts). Parasti to ieteicams ieviest parastās skolas sestajā klasē ar vispārēju mācību priekšmetu pasniegšanas programmu. Lai tiktu galā ar projektu, vispirms jāiepazīstas ar simetrijas jēdzienu, jo īpaši, lai noteiktu, kāds spoguļa tips ir viens no pamata un bērniem saprotamākajiem.

Apsveriet, lai identificētu simetrijas parādībunoteiktu ģeometrisku figūru, kā arī izvēlieties plakni. Kad viņi runā par attiecīgā objekta simetriju? Pirmkārt, uz tā tiek izvēlēts punkts, un pēc tam tam tiek atrasts atspulgs. Starp abiem tiek izveidots segments un tiek aprēķināts, kādā leņķī pret iepriekš izvēlēto plakni tas iet.

Izpratne par simetriju matemātikā,atcerieties, ka plakni, kas izvēlēta šīs parādības atklāšanai, sauks par simetrijas plakni un neko citu. Uzzīmētajam segmentam jābūt krustotam ar to taisnā leņķī. Attālumam no punkta līdz šai plaknei un no tā līdz līnijas segmenta otrajam punktam jābūt vienādam.

Nianses

Ko vēl interesantu jūs varat uzzināt, to analizējottāda parādība kā simetrija? Matemātika (6. pakāpe) saka, ka divi skaitļi, kas tiek uzskatīti par simetriskiem, ne vienmēr ir identiski viens otram. Vienlīdzība pastāv šaurā un plašā nozīmē. Tātad simetriski objekti šaurā objektā nav viens un tas pats.

Kādu piemēru no dzīves jūs varat sniegt? Elementāri! Ko jūs domājat par mūsu cimdiem, dūraiņiem? Mēs visi esam pieraduši tos valkāt un zinām, ka nevaram zaudēt, jo otro nevar samērot pāri, kas nozīmē, ka mums atkal būs jāpērk abi. Un viss kāpēc? Tā kā sapāroti izstrādājumi, lai arī ir simetriski, ir paredzēti kreisajai un labajai rokai. Šis ir tipisks spoguļu simetrijas piemērs. Kas attiecas uz vienlīdzību, šādi objekti tiek atzīti par “spoguļa vienādiem”.

Kā ar centru?

Centrālā simetrija sākas arnosakot ķermeņa īpašības, attiecībā uz kurām nepieciešams novērtēt parādību. Lai to sauktu par simetrisku, vispirms atlasiet kādu punktu, kas atrodas centrā. Tālāk tiek izvēlēts punkts (mēs to nosacīti sauksim par A) un meklēsim tam pāri (nosacīti apzīmēsim E).

Nosakot punktu A un E simetrijusavienoti viens ar otru ar taisnu līniju, tverot ķermeņa centrālo punktu. Pēc tam izmēra iegūto taisno līniju. Ja segments no punkta A līdz objekta centram ir vienāds ar segmentu, kas atdala centru no punkta E, mēs varam teikt, ka simetrijas centrs ir atrasts. Centrālā simetrija matemātikā ir viens no galvenajiem jēdzieniem, kas ļauj turpināt attīstīt ģeometrijas teoriju.

Un, ja mēs rotējam?

Analizējot simetriju matemātikā,nevar nepamanīt šīs parādības rotācijas apakštipa jēdzienu. Lai saprastu terminus, ņem ķermeni, kuram ir centra punkts, kā arī definē veselu skaitli.

Eksperimenta laikā dotais ķermenis tiek pagriezts arleņķis, kas vienāds ar rezultātu, dalot 360 grādus ar izvēlēto vesela skaitļa vērtību. Lai to izdarītu, jums jāzina, kāda ir simetrijas ass (2. klase, matemātika, skolas programma). Šī ass ir taisna līnija, kas savieno abus atlasītos punktus. Par rotācijas simetriju var runāt, ja izvēlētajā rotācijas leņķī ķermenis atrodas tādā pašā stāvoklī kā pirms manipulācijām.

Gadījumā, kad dabiskais skaitlis bijaTiek izvēlēts 2, un tiek atklāta simetrijas parādība, viņi saka, ka aksiālā simetrija ir definēta matemātikā. Tas ir raksturīgi vairākiem skaitļiem. Tipisks piemērs: trīsstūris.

Vairāk par piemēriem

Daudzu gadu prakse matemātikā un ģeometrijā mācīt vidusskolā parāda, ka vienkāršākais veids, kā tikt galā ar simetrijas parādību, ir izskaidrot to ar konkrētiem piemēriem.

Sāksim ar sfēru. Simetrijas parādības vienlaikus ir raksturīgas šādam ķermenim:

• centrālais;
• spogulis;
• rotācijas.

Punkts atrodastieši figūras centrā. Lai izvēlētos plakni, definējiet lielu apli un it kā “sagrieziet” to kārtās. Par ko runā matemātika? Rotācija un centrālā simetrija lodītes gadījumā ir savstarpēji saistīti jēdzieni, savukārt figūras diametrs kalpos kā ass apskatāmajai parādībai.

Vēl viens labs piemērs ir apaļais konuss. Šim skaitlim raksturīga aksiālā simetrija. Matemātikā un arhitektūrā šī parādība ir atradusi plašu teorētisko un praktisko pielietojumu. Lūdzu, ņemiet vērā: konusa ass darbojas kā parādības ass.

Pētīto parādību skaidri parāda taisnā līnijaprizma. Šim skaitlim raksturīga spoguļa simetrija. “Griezumu” izvēlas kā plakni, kas ir paralēla figūras pamatiem, vienādos intervālos no tām. Veidojot ģeometrisku, aprakstošu, arhitektūras projektu (matemātikā simetrija ir ne mazāk svarīga kā eksaktajās un aprakstošajās zinātnēs), atcerieties piemērojamību praksē un ieguvumus, plānojot spoguļošanas fenomena nesošos elementus.

Kā ar interesantākiem skaitļiem?

Ko matemātika var mums pateikt (6. klase)? Centrālā simetrija pastāv ne tikai tik vienkāršā un saprotamā objektā kā bumba. Tas ir raksturīgs interesantākām un sarežģītākām figūrām. Piemēram, tas ir paralelograms. Šādam objektam centrālais punkts kļūst par punktu, kurā krustojas tā diagonāles.

Bet, ja ņemam vērā vienādsānu trapecveida formu,tad tā būs aksiāli simetriska forma. To var identificēt, ja izvēlaties pareizo asi. Ķermenis ir simetrisks attiecībā pret līniju, kas ir perpendikulāra pamatnei un krustojas tieši pa vidu.

Simetrija matemātikā un arhitektūrā obligāti ņem vērā rombu. Šis skaitlis ir ievērojams ar to, ka vienlaikus apvieno divu veidu simetriju:

• aksiāls;
• centrālā.

Par asi jāizvēlas objekta diagonāle. Vietā, kur krustojas romba diagonāles, atrodas tās simetrijas centrs.

Par skaistumu un simetriju

Veidojot matemātikas projektu, simetrijakas būtu galvenā tēma, parasti vispirms viņi atceras izcilā zinātnieka Veila gudros vārdus: "Simetrija ir ideja, kuru parasts cilvēks mēģina saprast jau daudzus gadsimtus, jo tieši viņa rada perfektu skaistumu caur unikāls pasūtījums. "

Kā jūs zināt, lielākajai daļai šķiet citi objektiskaisti, bet citi ir pretīgi, pat ja tajos nav acīmredzamu trūkumu. Kāpēc tas notiek? Atbilde uz šo jautājumu parāda attiecības starp arhitektūru un matemātiku simetrijā, jo tieši šī parādība kļūst par pamatu objekta novērtēšanai kā estētiski pievilcīgam.

Viena no skaistākajām sievietēm uz mūsu planētas ir supermodele Brush Tarlikton. Viņa ir pārliecināta, ka guva panākumus galvenokārt pateicoties unikālai parādībai: viņas lūpas ir simetriskas.

Kā jūs zināt, daba un mēdz simetriju, unnevar to sasniegt. Tas nav vispārējs noteikums, taču ieskatieties apkārtējos cilvēkos: cilvēku sejās praktiski nav iespējams atrast absolūtu simetriju, kaut arī tiekšanās uz to ir acīmredzama. Jo simetriskāka sarunu biedra seja, jo skaistāka tā parādās.

Kā simetrija kļuva par skaistuma ideju

Tas ir pārsteidzoši, uz kā balstās simetrijacilvēka uztvere par apkārtējās telpas un tajā esošo objektu skaistumu. Daudzus gadsimtus cilvēki ir centušies saprast, kas šķiet skaisti un kas atbaida objektīvi.

Simetrija, proporcijas ir tas, kas palīdzvizuāli uztvert kādu objektu un novērtēt to pozitīvi. Visiem elementiem, detaļām jābūt līdzsvarotām un saprātīgās proporcijās viens otram. Jau sen ir noskaidrots, ka asimetriski priekšmeti cilvēkiem patīk daudz mazāk. Tas viss ir saistīts ar jēdzienu "harmonija". Kopš seniem laikiem gudrie, aktieri, mākslinieki ir neizpratnē, kāpēc tas cilvēkam ir tik svarīgi.

Ir vērts rūpīgāk aplūkot ģeometriskās formas, un simetrijas parādība kļūs acīmredzama un saprotama. Tipiskākās simetriskās parādības telpā ap mums:

• ieži;
• augu ziedi un lapas;
• pārī savienoti ārējie orgāni, kas raksturīgi dzīviem organismiem.

Aprakstītajām parādībām ir pats dabas avots.Bet ko jūs varat redzēt simetrisku, cieši aplūkojot cilvēka roku produktus? Ir pamanāms, ka cilvēki pievērš uzmanību tieši tāda radīšanai, ja viņi cenšas padarīt kaut ko skaistu vai funkcionālu (vai vienlaikus gan tādu, gan tādu):

• modeļi un rotājumi, kas populāri kopš seniem laikiem;
• celtniecības elementi;
• iekārtu konstrukcijas elementi;
• rokdarbi.

Par terminoloģiju

"Simetrija" ir vārds, kas mūsu valodā ienācasenie grieķi, kas vispirms pievērsa lielu uzmanību šai parādībai un mēģināja to izpētīt. Šis termins apzīmē noteiktas sistēmas klātbūtni, kā arī objekta daļu harmonisku kombināciju. Tulkojot vārdu "simetrija", jūs varat izvēlēties kā sinonīmus:

• proporcionalitāte;
• vienādība;
• proporcionalitāte.

Kopš seniem laikiem simetrija ir bijis svarīgs jēdzienscilvēces attīstībai dažādās jomās un nozarēs. Kopš senatnes cilvēkiem ir bijušas vispārīgas idejas par šo parādību, galvenokārt to aplūkojot plašā nozīmē. Simetrija nozīmēja harmoniju un līdzsvaru. Mūsdienās terminoloģiju māca parastajā skolā. Piemēram, skolotājs bērniem stāsta, kāda ir simetrijas ass (2. klase, matemātika) parastajā klasē.

Kā ideja, šī parādība bieži kļūstzinātnisko hipotēžu un teoriju sākotnējais priekšnoteikums. Tas bija īpaši populāri iepriekšējos gadsimtos, kad visā pasaulē valdīja ideja par matemātisko harmoniju, kas raksturīga visuma sistēmai. Šo laikmetu eksperti bija pārliecināti, ka simetrija ir dievišķās harmonijas izpausme. Bet senajā Grieķijā filozofi apliecināja, ka viss Visums ir simetrisks, un tas viss balstījās uz postulātu: "Simetrija ir skaista".

Lielie grieķi un simetrija

Simetrija ir saviļņojusi slavenu zinātnieku prātusSenā Grieķija. Līdz šai dienai ir parādījušies pierādījumi, ka Platons aicināja atsevišķi apbrīnot regulāru daudzskaldni. Viņaprāt, šādi skaitļi ir mūsu pasaules elementu personifikācija. Bija šāda klasifikācija:

Lielākoties šīs teorijas dēļ parastos daudzskaldņus ir ierasts saukt par platoniskām cietvielām.

Bet terminoloģija tika ieviesta vēl agrāk, un šeit svarīgu lomu spēlēja tēlnieks Poliklets.

Pitagors un simetrija

Pitagora dzīves laikā un vēlāk, kadviņa mācība uzplauka, simetrijas parādība bija skaidri definēta. Toreiz simetrija tika pakļauta zinātniskai analīzei, kas deva praktiskai lietošanai svarīgus rezultātus.

Saskaņā ar secinājumiem:

• Simetrija balstās uz proporcijas, vienveidības un vienlīdzības jēdzieniem. Ja tiek pārkāpts viens vai otrs jēdziens, skaitlis kļūst mazāk simetrisks, pamazām pārvēršoties par pilnīgi asimetrisku.
• Ir 10 pretēji pāri.Saskaņā ar doktrīnu simetrija ir parādība, kas apvieno pretstatus vienā vienībā un tādējādi veido Visumu kopumā. Daudzus gadsimtus šis postulāts spēcīgi ietekmēja vairākas gan eksaktās, gan filozofiskās, gan dabaszinātnes.

Pitagors un viņa sekotāji identificēja "pilnīgi simetriskus ķermeņus", kuriem viņi ierindoja tos, kas atbilst nosacījumiem:

• katra seja ir daudzstūris;
• sejas sastopas stūros;
• formai jābūt vienādām malām un leņķiem.

Tas bija Pitagors, kurš vispirms teica, ka ir tikai pieci šādi ķermeņi. Šis lieliskais atklājums ir pamats ģeometrijai un ir ārkārtīgi svarīgs mūsdienu arhitektūrai.

Vai visvairāk vēlaties redzēt savām acīmbrīnišķīga simetrijas parādība? Noķeriet sniegpārsliņu ziemā. Pārsteidzoši, ka šim mazajam ledus gabalam, kas krīt no debesīm, ir ne tikai ārkārtīgi sarežģīta kristāliska struktūra, bet arī pilnīgi simetriska. Apsveriet to uzmanīgi: sniegpārsla ir patiešām skaista, un tās sarežģītās līnijas ir apburošas.