Kas yra natūralus skaičius? Istorija, apimtis, savybės

Matematika iš bendrosios filosofijos išsiskyrė maždaugVI amžiuje pr e., ir nuo tos akimirkos prasidėjo pergalingas žygis aplink pasaulį. Kiekvienas raidos etapas įvedė kažką naujo - pradinis skaičiavimas evoliucionavo, transformavosi į diferencialinį ir integralinį skaičiavimą, keitėsi šimtmečiai, formulės tapo painesnės ir atėjo momentas, kai „prasidėjo sudėtingiausia matematika - iš jos dingo visi skaičiai“. Bet koks buvo pagrindas?

Pradžia

Natūralūs skaičiai pasirodė lygiaverčiai pirmiesiemsmatematinės operacijos. Vienas stuburas, du stuburai, trys stuburai ... Jie atsirado Indijos mokslininkų dėka, kurie padarė pirmąją pozicinių skaičių sistemą.

Žodis „padėties nustatymas“ reiškia, kad vietakiekvienas skaitmens skaitmuo yra griežtai apibrėžtas ir atitinka jo kategoriją. Pvz., Skaičiai 784 ir 487 yra vienodi skaičiai, tačiau skaičiai nėra lygiaverčiai, nes pirmajame yra 7 šimtai, o antrame - tik 4. Indų naujoves perėmė arabai, atvedę skaičius į tą formą, kurią mes dabar žinome.

Senovėje skaičiai buvo pateikti mistiškaiprasmė, didžiausias matematikas Pitagoras tikėjo, kad šis skaičius yra pasaulio kūrimo pagrindas kartu su pagrindiniais elementais - ugnimi, vandeniu, žeme, oru. Jei viską atsižvelgsime tik iš matematikos pusės, tai koks yra natūralusis skaičius? Natūraliųjų skaičių laukas žymimas kaip N ir yra begalinė sveikųjų skaičių ir teigiamų skaičių eilutė: 1, 2, 3,… + ∞. Nulis neįtraukiamas. Naudojamas visų pirma daiktų skaičiavimui ir užsakymo nurodymui.

Kas yra natūralus matematikos skaičius? Peano aksiomos

N laukas yra pagrindas, kuriuo remiasi elementari matematika. Laikui bėgant buvo išskirti sveikųjų skaičių, racionalių, sudėtingų skaičių laukai.

Italų matematiko Giuseppe'o Peano darbaileido toliau struktūrizuoti aritmetiką, pasiekė jos formalumą ir atvėrė kelią tolesnėms išvadoms, kurios peržengė N lauko sritį.

Kas yra natūralusis skaičius, tai buvo paaiškinta anksčiau paprasta kalba, toliau mes apsvarstysime matematinį apibrėžimą, pagrįstą Peano aksiomomis.

• Vienetas laikomas natūraliu skaičiumi.
• Skaičius, einantis po natūralaus skaičiaus, yra natūralus.
• Natūralaus numerio priešais įrenginį nėra.
• Jei skaičius b eina po skaičiaus c ir skaičiaus d, tada c = d.
• Indukcinė aksioma, kuri savo ruožtuparodo, kas yra natūralusis skaičius: jei kai kurie teiginiai, kurie priklauso nuo parametro, yra teisingi skaičiui 1, tada darome prielaidą, kad jis tinka skaičiui n iš natūraliųjų skaičių lauko N. Tada teiginys teisingas ir n = 1 iš natūralių skaičių N lauko ...

Pagrindinės natūraliųjų skaičių lauko operacijos

Kadangi N laukas tapo pirmuoju matematiniamskaičiavimus, tada jam priklauso tiek apibrėžimo sritys, tiek daugelio toliau nurodytų operacijų verčių diapazonai. Jie yra uždari ir ne. Pagrindinis skirtumas yra tas, kad uždarytos operacijos garantuoja rezultato išlaikymą nustatytoje N, neatsižvelgiant į tai, kokie skaičiai yra susiję. Pakanka, kad jie būtų natūralūs. Likusių skaitinių sąveikų rezultatas nebėra toks vienareikšmis ir tiesiogiai priklauso nuo to, kokie skaičiai yra susiję su išraiška, nes tai gali prieštarauti pagrindiniam apibrėžimui. Taigi, uždaros operacijos:

• papildymas - x + y = z, kur x, y, z yra įtraukti į N lauką;
• daugyba - x * y = z, kur x, y, z yra įtraukti į N lauką;
• eksponavimas - x^ir, kur x, y įtraukiami į N lauką.

Likusios operacijos, kurių rezultatas gali nebūti apibrėžiant „kas yra natūralusis skaičius“, yra šios:

• atimtis - x - y = z. Natūraliųjų skaičių laukas tai leidžia tik tuo atveju, jei x yra didesnis už y;
• dalijimasis - x / y = z. Natūraliųjų skaičių laukas tai leidžia tik tuo atveju, jei z dalijasi iš y be liekanos, tai yra visiškai.

N laukui priklausančių skaičių savybės

Visi tolesni matematiniai samprotavimai bus pagrįsti šiomis savybėmis, kurios yra nereikšmingiausios, bet ne mažiau svarbios.

• Kilnojamasis pridėtinis turtas yra x + y = y + x, kur skaičiai x, y įtraukiami į lauką N. Arba gerai žinoma „suma nesikeičia nuo terminų vietų keitimo“.
• Kilnojamasis daugybos turtas yra x * y = y * x, kur skaičiai x, y yra įtraukti į lauką N.
• Derinio savybė - (x + y) + z = x + (y + z), kur x, y, z yra įtraukti į lauką N.
• Kombinuota daugybos savybė - (x * y) * z = x * (y * z), kur skaičiai x, y, z yra įtraukti į lauką N.
• pasiskirstymo savybė - x (y + z) = x * y + x * z, kur skaičiai x, y, z yra įtraukti į N lauką.

Pitagoro stalas

Vienas pirmųjų žingsnių visiems žinantelementinės matematikos struktūra, kai jie patys suprato, kurie skaičiai vadinami natūraliaisiais, yra Pitagoro lentelė. Į jį galima žiūrėti ne tik mokslo požiūriu, bet ir kaip vertingą mokslo paminklą.

Ši daugybos lentelė buvo atliktalaiko, daugybė pakeitimų: iš jo buvo pašalintas nulis, o skaičiai nuo 1 iki 10 žymi save, neatsižvelgiant į užsakymus (šimtus, tūkstančius ...). Tai lentelė, kurioje eilučių ir stulpelių antraštės yra skaičiai, o jų susikirtimo langelių turinys yra lygus jų sandaugai.

Pastarųjų dešimtmečių mokymo praktikojereikėjo įsiminti Pitagoro lentelę „tvarkingai“, tai yra pirmiausia buvo įsiminti. Padauginimas iš 1 buvo atmestas, nes rezultatas buvo 1 ar daugiau. Tuo tarpu lentelėje plika akimi galite pamatyti modelį: skaičių sandauga auga vienu žingsniu, kuris yra lygus eilutės pavadinimui. Taigi antrasis faktorius parodo, kiek kartų turime paimti pirmąjį, kad gautume norimą produktą. Ši sistema yra daug patogesnė nei ta, kuri buvo praktikuojama viduramžiais: net suprasdami, kas yra natūralus skaičius ir koks jis nereikšmingas, žmonėms pavyko apsunkinti kasdienį skaičiavimą, naudojant sistemą, paremtą dviejų galia.

Pogrupis kaip matematikos lopšys

Šiuo metu natūraliųjų skaičių laukas Nlaikomas tik vienu iš kompleksinių skaičių pogrupių, tačiau tai nepadaro jų mažiau vertingais moksle. Natūralus skaičius yra pirmas dalykas, kurį vaikas išmoksta studijuodamas save ir aplinkinį pasaulį. Vienas pirštas, du pirštai ... Jo dėka žmogus lavina loginį mąstymą, taip pat gebėjimą nustatyti priežastį ir išvesti padarinį, paruošdamas dirvą dideliems atradimams.