Vienos ir keleto kintamųjų funkcijos diferencialinis skaičiavimas

Diferencinis skaičiavimas yra matematinės analizės šaka, tirianti darinį, diferencialus ir jų naudojimą tiriant funkciją.

Istorija išvaizdos

Diferencinis skaičiavimas išsiskyrėantrosios pusės nepriklausoma disciplina, dėka Newtono ir Leibnizo darbų, kurie suformulavo pagrindines diferencialų skaičiavimo nuostatas ir pastebėjo ryšį tarp integracijos ir diferenciacijos. Nuo tos akimirkos disciplina vystėsi kartu su integralų skaičiavimu ir taip sudarė matematinės analizės pagrindą. Šių skaičiavimų atsiradimas atvėrė naują šiuolaikinį laikotarpį matematiniame pasaulyje ir sukėlė naujų mokslo disciplinų atsiradimą. Tai taip pat išplėtė galimybę pritaikyti matematiką gamtos moksluose ir technologijose.

Pagrindinės sąvokos

Diferencinis skaičiavimas pagrįstaspagrindinės matematikos sąvokos. Jie yra: tikrasis skaičius, tęstinumas, funkcija ir riba. Laikui bėgant jie įgavo modernią formą dėka integralinio ir diferencinio skaičiavimo.

Kūrimo procesas

Diferencinio skaičiavimo formavimas formojepritaikytas, o tada mokslinis metodas įvyko dar prieš atsirandant filosofinei teorijai, kurią sukūrė Nikolajus Kuzanskis. Jo darbai laikomi evoliucijos raida, remiantis senovės mokslo sprendimais. Nepaisant to, kad pats filosofas nebuvo matematikas, jo indėlis į matematikos mokslo plėtrą yra neginčijamas. Kuzanskis vienas pirmųjų atsisakė aritmetikos, kaip tiksliausios mokslo srities, svarstymo, kvestionuodamas to meto matematiką.

Senovės matematikai turi universalų kriterijųbuvo vienetas, o filosofas siūlė begalybę kaip naują matą vietoj tikslaus skaičiaus. Šiuo atžvilgiu matematikos mokslo tikslumo vaizdavimas yra atvirkštinis. Mokslinės žinios, jo nuomone, skirstomos į racionalias ir intelektualias. Antrasis yra tikslesnis, pasak mokslininko, nes pirmasis duoda tik apytikslį rezultatą.

Idėja

Pagrindinė idėja ir samprata diferencialeskaičiavimas, susijęs su funkcija mažuose tam tikrų taškų rajonuose. Tam būtina sukurti matematinį aparatą funkcijai tirti, kurios elgesys nedidelėje nustatytų taškų kaimynystėje yra artimas daugianario ar tiesinės funkcijos elgesiui. Tai pagrįsta išvestinės ir diferencialo apibrėžimais.

Išvestinės sąvokos atsiradimą sukėlė daugybė gamtos mokslų ir matematikos problemų, kurios paskatino rasti to paties tipo ribų vertes.

Viena iš pagrindinių užduočių, kurios pateikiamos kaipPavyzdžiui, pradedant nuo vidurinės mokyklos, reikia nustatyti taško greitį tiesia linija ir nubrėžti šios kreivės liestinę liniją. Skirtumas yra susijęs su tuo, nes galima apytiksliai įvertinti funkciją nedideliame nagrinėjamos tiesinės funkcijos taško kaimynystėje.

Palyginti su funkcijos išvestinės sąvokarealusis kintamasis, diferencialų apibrėžimas tiesiog perkeliamas į bendro pobūdžio funkciją, visų pirma į vienos Euklido erdvės vaizdą kitoje.

Išvestinė

Tegul taškas juda Oy ašies kryptimi, už jos ribųlaikas, kurį mes imame x, kuris skaičiuojamas nuo tam tikros akimirkos pradžios. Šį judėjimą galima apibūdinti funkcija y = f (x), kuri priskiriama kiekvienam judėjimo taško laiko momentui x koordinatėms. Ši mechanikos funkcija vadinama judėjimo dėsniu. Pagrindinė judėjimo, ypač netolygaus, savybė yra momentinis greitis. Kai taškas juda išilgai Oy ašies pagal mechanikos dėsnį, tada atsitiktiniu laiko momentu x jis įgyja koordinatą f (x). Tuo momentu x + Δx, kur Δx žymi prieaugį laike, jo koordinatė bus f (x + Δx). Taip susidaro formulė Δy = f (x + Δx) - f (x), kuri vadinama funkcijos prieaugiu. Tai reiškia kelią, kurį taškas kerta laiku nuo x iki x + Δx.

Dėl šio greičio atsiradimo šiuo metuįvesta laiko išvestinė. Atliekant savavališką funkciją, darinys fiksuotame taške vadinamas riba (su sąlyga, kad ji egzistuoja). Tai gali būti žymima tam tikrais simboliais:

f '(x), y', ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

Išvestinės priemonės apskaičiavimo procesas vadinamas diferenciacija.

Kelių kintamųjų funkcijos diferencinis skaičiavimas

Šis skaičiavimo metodas taikomas, kainagrinėjant funkciją su keliais kintamaisiais. Esant dviem kintamiesiems x ir y, dalinis darinys x atžvilgiu taške A vadinamas šios funkcijos išvestine x atžvilgiu su fiksuotu y.

Tai gali būti nurodyta šiais simboliais:

f ’(x) (x, y), u’ (x), ∂u / ∂x arba ∂f (x, y) ’/ ∂x.

Reikalingi įgūdžiai

Norėdami sėkmingai mokytis ir sugebėti išspręsti difuziją,reikalingi integracijos ir diferenciacijos įgūdžiai. Kad diferencialines lygtis būtų lengviau suprasti, turėtumėte gerai suprasti išvestinės ir neapibrėžto integralo temą. Taip pat nepakenkia išmokti ieškoti netiesiogiai apibrėžtos funkcijos išvestinės. Taip yra dėl to, kad studijuodami dažnai turėsite naudoti integralus ir diferenciacijas.

Diferencialinių lygčių tipai

Beveik visuose valdymo darbuose, susijusiuose su pirmosios eilės diferencialinėmis lygtimis, yra 3 lygčių tipai: vienalytė, su atskiriamais kintamaisiais, tiesinė nehomogeninė.

Taip pat yra retesnių tipų lygčių: su bendraisiais diferencialais, Bernoulli lygtimis ir kt.

Sprendimo pagrindai

Pirmiausia prisiminkite algebrinęmokyklos kurso lygtis. Juose yra kintamieji ir skaičiai. Norėdami išspręsti įprastą lygtį, turite rasti skaičių rinkinį, kuris tenkina tam tikrą sąlygą. Paprastai tokios lygtys turėjo vieną šaknį, o norint patikrinti teisingumą, šią vertę reikėjo pakeisti tik nežinomosios vietoje.

Diferencialinė lygtis yra panaši į šią. Apskritai tokia pirmos eilės lygtis apima:

• Nepriklausomas kintamasis.
• Pirmosios funkcijos vedinys.
• Funkcija arba priklausomas kintamasis.

Kai kuriais atvejais vienas išnežinoma, x ar y, tačiau tai nėra taip svarbu, nes norint, kad sprendimas ir diferencialinis skaičiavimas būtų teisingi, būtinas pirmasis darinys be didesnių eilių išvestinių.

Diferencialinės lygties sprendimas reiškia surasti visų funkcijų rinkinį, atitinkantį tam tikrą išraišką. Panašus funkcijų rinkinys dažnai vadinamas bendruoju DU sprendimu.

Integralus skaičiavimas

Integralus skaičiavimas yra viena iš matematinės analizės šakų, nagrinėjanti integralo sampratą, jo savybes ir skaičiavimo metodus.

Skaičiuojant integralą dažnai tenka susidurti, kaiskaičiuojant išlenktos figūros plotą. Ši sritis reiškia ribą, iki kurios tam tikrame paveiksle užfiksuoto daugiakampio plotas linkęs palaipsniui didėti jo šone, tuo tarpu šias puses galima atlikti mažiau nei bet kuri anksčiau nurodyta savavališkai maža reikšmė.

Pagrindinė mintis apskaičiuojant savavališko plotogeometrinė figūra susideda iš stačiakampio ploto apskaičiavimo, tai yra, įrodant, kad jo plotas yra lygus ilgio ir pločio sandaugai. Kalbant apie geometriją, visos konstrukcijos daromos naudojant liniuotę ir kompasą, o tada ilgio ir pločio santykis yra racionali vertė. Apskaičiuodami stačiakampio trikampio plotą, galite nustatyti, kad jei šalia jo įdėsite tą patį trikampį, tada susidarys stačiakampis. Lygiagretainyje plotas apskaičiuojamas panašiu, bet šiek tiek sudėtingesniu metodu per stačiakampį ir trikampį. Daugiakampiuose plotas skaičiuojamas pagal į jį įtrauktus trikampius.

Nustatant savavališkos kreivės plotą, taimetodas neveiks. Jei suskaidysime jį į vieneto kvadratus, tada bus tuščių vietų. Tokiu atveju jie bando naudoti du dangčius, kurių viršuje ir apačioje yra stačiakampiai, todėl jie įtraukia funkcijos grafiką ir jo neįtraukia. Čia išlieka svarbus skaidymo į šiuos stačiakampius būdas. Be to, jei imsime skaidinius, kurių vis mažėja, tada virš ir žemiau esantis plotas turėtų sutapti tam tikra verte.

Turėtumėte grįžti prie padalijimo į stačiakampius metodo. Yra du populiarūs metodai.

Riemannas formalizavo integralo apibrėžimą,sukūrė Leibnizas ir Niutonas kaip subgrafo sritis. Šiuo atveju buvo atsižvelgta į skaičius, susidedančius iš tam tikro skaičiaus vertikalių stačiakampių ir gautus padalijus segmentą. Kai mažėjant skaidymui yra riba, iki kurios sumažėja tokios figūros plotas, ši riba vadinama Riemann funkcijos integralu tam tikrame segmente.

Antrasis metodas yra integralo konstravimasLebesgue'as, kuris susideda iš to, kad nustatyto regiono padalijimo į integrando dalis vieta ir tada iš gautų šių dalių dalių integralinės sumos sudarymo vieta, jo reikšmių sritis padalijama į intervalus, o tada jis apibendrintas atitinkamais šių integralų atvirkštinių vaizdų matais.

Šiuolaikiniai vadovai

Vienas pagrindinių studijų vadovųdiferencialinį ir integralinį skaičiavimą parašė Fichtengolts - „Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas“. Jo vadovėlis yra pagrindinis matematinės analizės tyrimo vadovėlis, išleistas daugybe leidimų ir vertimų į kitas kalbas. Sukurta universiteto studentams ir jau seniai naudojama daugelyje švietimo įstaigų kaip vienas pagrindinių studijų vadovų. Pateikia teorinius duomenis ir praktinius įgūdžius. Pirmą kartą paskelbta 1948 m.

Funkcijų tyrimo algoritmas

Norint ištirti funkciją taikant diferencinio skaičiavimo metodus, būtina vadovautis jau pateiktu algoritmu:

1. Raskite funkcijos sritį.
2. Raskite pateiktos lygties šaknis.
3. Apskaičiuokite kraštutinumus. Norėdami tai padaryti, apskaičiuokite darinį ir taškus, kur jis lygus nuliui.
4. Gautą vertę pakeiskite į lygtį.

Diferencialinių lygčių atmainos

Pirmos eilės DE (kitaip - vieno kintamojo diferencinis skaičiavimas) ir jų tipai:

• Atskiriama lygtis: f (y) dy = g (x) dx.
• Paprasčiausios lygtys arba diferencinis vieno kintamojo funkcijos skaičiavimas, kurio formulė: y "= f (x).
• Pirmos eilės tiesinis nehomogeninis DE: y "+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli diferencialinė lygtis: y "+ P (x) y = Q (x) y^a .
• Lygtis su visais skirtumais: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Antrosios eilės diferencialinės lygtys ir jų tipai:

• Tiesinė homogeninė antrosios eilės diferencialinė lygtis su pastoviomis koeficiento reikšmėmis: yⁿ+ py "+ qy = 0 p, q priklauso R.
• Tiesinė nehomogeninė antrosios eilės diferencialinė lygtis su pastovia koeficientų verte: yⁿ+ py "+ qy = f (x).
• Tiesinė homogeninė diferencialinė lygtis: yⁿ+ p (x) y "+ q (x) y = 0 ir antrosios eilės nehomogeninė lygtis: yⁿ+ p (x) y "+ q (x) y = f (x).

Didesnės aukštesnių eilių lygtys ir jų tipai:

• Diferencinė lygtis, leidžianti mažinti tvarką: F (x, y^k), y^{(k + 1)}, .., yⁿ⁾= 0.
• Linijinė aukštesnės eilės lygtis yra vienalytė: irⁿ⁾+ f_(n-1)ir^(n-1)+ ... + f₁y "+ f₀y = 0ir nevienalytis: irⁿ⁾+ f_(n-1)ir^(n-1)+ ... + f₁y "+ f₀y = f (x).

Problemos su diferencialine lygtimi sprendimo etapai

Su DE pagalba ne tik matematikosar fizinius klausimus, bet ir įvairias biologijos, ekonomikos, sociologijos ir kitas problemas. Nepaisant daugybės temų, spręsdami tokias problemas turėtumėte laikytis vienos loginės sekos:

1. Nuotolinio valdymo pulto sudarymas.Vienas iš sunkiausių etapų, reikalaujantis maksimalaus tikslumo, nes dėl bet kokios klaidos bus gauti visiškai neteisingi rezultatai. Reikėtų atsižvelgti į visus veiksnius, turinčius įtakos procesui, ir nustatyti pradines sąlygas. Taip pat turėtumėte remtis faktais ir išvadomis.
2. Lygties sprendimas. Šis procesas yra paprastesnis nei pirmasis žingsnis, nes tam reikia tik griežtų matematinių skaičiavimų.
3. Gautų rezultatų analizė ir vertinimas. Gautas sprendimas turėtų būti įvertintas siekiant nustatyti praktinę ir teorinę rezultato vertę.

Diferencialinių lygčių naudojimo medicinoje pavyzdys

DU naudojimas medicinos srityje susitinkakuriant epidemiologinį matematinį modelį. Tuo pačiu nepamirškite, kad šios lygtys yra ir biologijoje bei chemijoje, kurios yra artimos medicinai, nes joje svarbų vaidmenį atlieka skirtingų biologinių populiacijų ir žmogaus kūno cheminių procesų tyrimas.

Minėtame epidemijos pavyzdyje galime apsvarstyti infekcijos plitimą izoliuotoje visuomenėje. Gyventojai skirstomi į tris tipus:

• Užkrėstas, skaičius x (t), susidedantis iš individų, infekcijos nešėjų, kurių kiekvienas yra infekcinis (inkubacinis laikotarpis yra trumpas).
• Antrasis tipas apima imlius asmenis y (t), galinčius užsikrėsti kontaktuodamas su užkrėstaisiais.
• Trečia rūšis apima ugniai atsparius individus z (t), kurie yra imunitetai arba mirė dėl ligų.

Asmenų skaičius yra pastovus, neatsižvelgiama į gimimą, natūralią mirtį ir migraciją. Tai bus pagrįsta dviem hipotezėmis.

Sergamumo procentas tam tikru laikumomentas yra lygus x (t) y (t) (prielaida remiasi teorija, kad atvejų skaičius yra proporcingas susikirtimų tarp pacientų ir jautrių atstovų skaičiui, kuris pirmajame derinyje bus proporcingas x ( t) y (t)), šiuo atžvilgiu atvejų skaičius didėja, o imlių atvejų skaičius mažėja tokiu greičiu, kuris apskaičiuojamas pagal formulę ax (t) y (t) (a> 0).

Ugniai atsparių asmenų, įgijusių imunitetą ar mirusių, skaičius didėja proporcingai atvejų skaičiui, bx (t) (b> 0).

Dėl to galima sudaryti lygčių sistemą atsižvelgiant į visus tris rodiklius ir jos pagrindu padaryti išvadas.

Naudojimo ekonomikoje pavyzdys

Diferencinis skaičiavimas dažnai naudojamas, kaiekonominė analizė. Pagrindinis ekonominės analizės uždavinys yra ekonomikos vertybių, kurios yra parašytos funkcijos pavidalu, tyrimas. Tai naudojama sprendžiant tokias problemas kaip pajamų pakeitimas iškart padidinus mokesčius, įvedant muitus, keičiant įmonės pajamas, kai keičiasi gamybos kaštai, kokia proporcija galima pakeisti pensininkus nauja įranga. Norint išspręsti tokius klausimus, iš gaunamų kintamųjų reikia sukonstruoti ryšio funkciją, kuri vėliau tiriama naudojant diferencinį skaičiavimą.

Ekonominėje srityje dažnai reikia rastioptimaliausi rodikliai: maksimalus darbo našumas, didžiausios pajamos, mažiausi kaštai ir pan. Kiekvienas toks rodiklis yra vieno ar kelių argumentų funkcija. Pavyzdžiui, gamybą galima vertinti kaip darbo ir kapitalo sąnaudų funkciją. Šiuo atžvilgiu tinkamos vertės suradimą galima sumažinti iki maksimalios ar mažiausios funkcijos iš vieno ar daugiau kintamųjų.

Tokios problemos sukuria ekstremalių klasęekonomikos srities problemos, kurioms spręsti būtinas diferencinis skaičiavimas. Kai ekonominį rodiklį reikia sumažinti arba maksimaliai padidinti kaip kito rodiklio funkciją, tada didžiausiame taške funkcijos prieaugio ir argumentų santykis bus nulinis, jei argumento prieaugis linkęs į nulį. Priešingu atveju, kai toks santykis yra linkęs į tam tikrą teigiamą ar neigiamą vertę, nurodytas taškas nėra tinkamas, nes didinant ar mažinant argumentą, galite pakeisti priklausomą vertę reikiama kryptimi. Diferencinio skaičiavimo terminologijoje tai reiškia, kad reikalinga funkcijos maksimumo sąlyga yra nulinė jos išvestinės vertė.

Ekonomikoje dažnai yra užduočiųradus funkcijos su keliais kintamaisiais kraštutinumą, nes ekonominius rodiklius sudaro daug veiksnių. Tokie klausimai yra gerai ištirti kelių kintamųjų funkcijų teorijoje, naudojant diferencinio skaičiavimo metodus. Tokios problemos apima ne tik maksimaliai padidintas ir sumažintas funkcijas, bet ir apribojimus. Tokie klausimai yra susiję su matematiniu programavimu ir jie sprendžiami naudojant specialiai sukurtus metodus, taip pat pagrįstus šia mokslo šaka.

Tarp diferencinio skaičiavimo metodųnaudojamas ekonomikoje, svarbus skyrius yra ribinė analizė. Ekonominėje sferoje šis terminas žymi metodų rinkinį kintamiems rodikliams ir rezultatams tirti keičiant kūrybos, vartojimo apimtis, remiantis jų ribinių rodiklių analize. Ribojantis rodiklis yra išvestinis arba dalinis dariniai su keliais kintamaisiais.

Kelių kintamųjų diferencinis skaičiavimas- svarbi tema matematinės analizės srityje. Norėdami atlikti išsamų tyrimą, galite naudoti įvairius vadovėlius, skirtus aukštojo mokslo įstaigoms. Vieną garsiausių sukūrė „Fichtengolts“ - „Diferencinio ir integralinio skaičiavimo eiga“. Kaip rodo pavadinimas, įgūdžiai dirbant su integralais yra labai svarbūs sprendžiant diferencialines lygtis. Kai vyksta vieno kintamojo funkcijos diferencinis skaičiavimas, sprendimas tampa paprastesnis. Nors, reikia pažymėti, jis laikosi tų pačių pagrindinių taisyklių. Norint praktiškai ištirti funkciją diferenciniu skaičiavimu, pakanka vadovautis jau egzistuojančiu algoritmu, kuris pateikiamas vyresniosiose mokyklos klasėse ir tik šiek tiek apsunkinamas įvedant naujus kintamuosius.