台形は四角形yの特殊なケースですどちらの辺が平行であるか。 「台形」という用語は、「テーブル」、「テーブル」を意味するギリシャ語のτράπεζαに由来します。この記事では、台形の種類とその特性について説明します。さらに、この幾何学的図形の個々の要素を計算する方法を理解します。たとえば、等脚台形の対角線、中心線、面積などです。マテリアルは、基本的な一般的なジオメトリのスタイルで、つまり簡単にアクセスできる形式で表示されます。
一般情報
まず、何であるかを理解しましょう四角形。この形状は、4つの辺と4つの頂点を持つポリゴンの特殊なケースです。隣接していない四辺形の2つの頂点は反対と呼ばれます。隣接していない2つの側面についても同じことが言えます。四角形の主なタイプは、平行四辺形、長方形、ひし形、正方形、台形、三角筋です。
では、台形に戻りましょう。すでに述べたように、この図には2つの辺が平行になっています。それらはベースと呼ばれます。他の2つ（非平行）は側面です。試験やさまざまなテストの資料では、台形に関連するタスクを見つけることがよくあります。その解決策では、プログラムで提供されていない知識が学生に必要になることがよくあります。学校の幾何学コースでは、角度と対角線の特性、および等脚台形の正中線を生徒に紹介します。しかし、これに加えて、言及された幾何学的図形には他の特徴があります。しかし、少し後でそれらについて...
台形の種類
この図には多くの種類があります。ただし、ほとんどの場合、二等辺三角形と長方形の2つを検討するのが通例です。
1.長方形の台形は、側面の1つが底面に垂直な図です。その2つの角度は常に90度に等しくなります。
2.等脚台形は、辺が等しい幾何学的図形です。これは、底辺の角度もペアごとに等しいことを意味します。
台形の特性を研究するための方法論の主な原則
主な原則はの使用ですいわゆるタスクアプローチ。実際、この図の新しいプロパティを幾何学の理論的な過程に導入する必要はありません。それらは、さまざまな問題を解決する過程で開かれ、定式化されます（システムの問題よりも優れています）。同時に、教師は、教育プロセスのある時点または別の時点で、どのようなタスクを学童に与える必要があるかを知っていることが非常に重要です。さらに、各台形プロパティは、タスクシステムの主要なタスクとして表すことができます。
2番目の原則はいわゆる台形の「顕著な」特性の研究のスパイラル構成。これは、学習プロセスが特定の幾何学的図形の個々の特徴に戻ることを意味します。これにより、学習者はそれらを覚えやすくなります。たとえば、4つのポイントのプロパティ。類似性を研究し、続いてベクトルを使用することによって、それを証明することができます。また、図の側面に隣接する三角形のサイズが等しいことは、1つの直線上にある辺に描かれた同じ高さの三角形のプロパティを適用するだけでなく、式S = 1/2を使用することによって証明できます。 （ab *sinα）。さらに、内接台形の正弦定理や、記述台形の直角三角形などを計算できます。
「プログラム外」機能の適用学校のコースの内容の幾何学的図形は、それらを教えるためのタスクテクノロジーです。他のトピックを渡すときに研究されたプロパティに絶えずアピールすることで、学生は台形をより深く理解し、割り当てられたタスクを確実に解決することができます。それでは、この素晴らしい人物の研究に取り掛かりましょう。
二等辺台形の要素と特性
すでに述べたように、この幾何学的な側面の数字は同じです。通常の台形としても知られています。そして、なぜそれがそれほど注目に値するのか、そしてなぜそれがそのような名前を得たのですか？この図の特徴には、底面の辺と角度だけでなく、対角線も等しいという事実が含まれています。また、等脚台形の角度の合計は360度です。しかし、それだけではありません！既知のすべての台形のうち、円を描くことができるのは二等辺三角形の周りだけです。これは、この図の反対の角度の合計が180度であるという事実によるものであり、この条件下でのみ、四角形の周りに円を描くことができます。考慮される幾何学的図形の次の特性は、ベースの上部から、このベースを含む直線上の反対側の上部の投影までの距離が中心線に等しくなることです。
次に、等脚台形の角度を見つける方法を考えてみましょう。図の側面の寸法がわかっている場合は、この問題の解決策を検討してください。
ソリューション
通常、四辺形は通常示されます文字A、B、C、D、ここでBSとHELLがベースです。二等辺台形では、辺は同じです。それらのサイズはXに等しく、ベースのサイズはYとZに等しい（それぞれ小さいと大きい）と仮定します。計算を実行するには、角度Bから高さNを描画する必要があります。結果は直角三角形ABNになります。ここで、ABは斜辺、BNとAHは脚です。脚のサイズを計算しますAH：大きい方の底から小さい方を引き、その結果を2で割ります。次の式で記述します：（ZY）/ 2 = F。次に、鋭角を計算します。三角形の場合、cos関数を使用します。次のレコードを取得します：cos（β）= X / F。ここで、角度を計算します：β= arcos（X / F）。さらに、1つの角度がわかれば、2番目の角度を決定できます。このために、初等算術演算を実行します：180-β。すべての角度が定義されています。
この問題に対する2番目の解決策もあります。最初に、コーナーから高さNを下げます。脚BNの値を計算します。直角三角形の斜辺の二乗は、脚の二乗の合計に等しいことがわかっています。 BN =√（X2-F2）が得られます。次に、三角関数tgを使用します。結果として、次のようになります。β= arctan（BN / F）。鋭い角が見つかりました。次に、最初の方法と同じ方法で鈍角を定義します。
二等辺台形の対角線の性質
まず、4つのルールを書き留めましょう。二等辺台形の対角線が垂直である場合、次のようになります。
-図の高さは、底辺の合計を2で割ったものに等しくなります。
-その高さと中央の線は同じです。
-台形の面積は高さの2乗に等しくなります（正中線、底の合計の半分）;
-対角線の2乗は、底辺の合計の2乗の半分、または正中線（高さ）の2乗の2倍に等しくなります。
次に、等脚台形の対角線を決定する式について考えます。この情報ブロックは、大きく4つの部分に分けることができます。
1.対角線の辺の長さの公式。
Aが下部の底、Bが上部、Cが等しい辺、Dが対角線であると仮定します。この場合、長さは次のように決定できます。
D =√（C2 + A * B）。
2.余弦定理による対角線の長さの公式。
Aが下のベース、Bが上のベース、C-等しい辺、D-対角線、α（下底）およびβ（上底）-台形の角度。対角線の長さを計算するために使用できる次の式を取得します。
-D =√（A2 + C2-2A * C *cosα）;
-D =√（A2 + C2-2A * C *cosβ）;
-D =√（B2 + C2-2B * C *cosβ）;
-D =√（B2 + C2-2B * C *cosα）。
3.等脚台形の対角線の長さの式。
Aが下部の底、Bが上部、Dが対角線、Mが中央の線、Hが高さ、Pが台形の面積、αとβが対角線間の角度であると仮定します。次の式を使用して長さを決定します。
-D =√（M2 + H2）;
-D =√（H2 +（A + B）2/4）;
-D =√（H（A + B）/sinα）=√（2P /sinα）=√（2M * H /sinα）。
この場合、等式は真です：sinα=sinβ。
4.辺と高さに関する対角線の長さの式。
Aを底辺、Bを頂上、Cを側面、Dを対角線、Hを高さ、αを底底の角度と仮定します。
次の式を使用して長さを決定します。
-D =√（H2 +（A-P *ctgα）2）;
-D =√（H2 +（B + P *ctgα）2）;
-D =√（A2 + C2-2A *√（C2-H2））。
長方形台形の要素と特性
この幾何学的図形の何が面白いのか見てみましょう。すでに述べたように、長方形の台形には2つの直角があります。
古典的な定義に加えて、その他。たとえば、長方形の台形は、片側が底辺に垂直な台形です。または側面が直角の図。このタイプの台形の場合、高さは底面に垂直な側面に等しくなります。正中線は、2つの辺の中点を結ぶ線分です。言及された要素の特性は、それが底辺に平行であり、それらの合計の半分に等しいということです。
それでは、基本的な式を見てみましょう。この幾何学的図形を定義します。このため、AとBが基礎であると仮定します。 C（底辺に垂直）およびD-長方形の台形の側面、M-中央線、α-鋭角、P-領域。
1。底辺に垂直な側面は、図の高さに等しく（C = H）、2番目の辺の長さDと角度αの正弦と底辺が大きい方の積に等しくなります（C = H）。 C = D *sinα）。さらに、鋭角αの接線と底辺の差の積に等しくなります：C =（A-B）*tgα。
2.側面D（底辺に垂直ではない）は、AとBの差の商と鋭角の余弦（α）、または図Hの高さと正弦の商に等しい鋭角：D =（AB）/cosα= C /sinα。
3.底辺に垂直な辺は、正方形D（2番目の辺）と底辺の差の平方根の平方根に等しくなります。
C =√（D2-（A-B）2）。
4.長方形の台形の辺Dは、辺Cの2乗と幾何学的図形の底辺の差の2乗の合計の平方根に等しくなります：D =√（C2 +（A-B）2）。
5. Cの辺は、二重面積をその底の合計で割った商に等しくなります：C = P / M = 2P /（A + B）。
6.面積は、底辺に垂直な高さまたは辺による積M（長方形の台形の中央線）によって決定されます：P = M * H = M * C。
7.辺Cは、図の2倍の面積を鋭角の正弦とその底の合計の積で割った商に等しい：C = P / M *sinα= 2P /（（A + B）*sinα）。
8.対角線とそれらの間の角度を通る長方形台形の側面の式：
--sinα=sinβ;
-C =（D1 * D2 /（A + B））*sinα=（D1 * D2 /（A + B））*sinβ、
ここで、D1とD2は台形の対角線です。 αとβはそれらの間の角度です。
9.下部ベースと他の側の角度による側面の式：D =（A-B）/cosα= C /sinα= H /sinα。
直角の台形は台形の特殊なケースであるため、これらの図を定義する残りの式は長方形の式に対応します。
内接円のプロパティ
円が長方形の台形に内接しているという条件の場合、次のプロパティを使用できます。
-底辺の合計は辺の合計に等しい。
-長方形の上部から内接円の接点までの距離は常に等しくなります。
-台形の高さは、側面に等しく、底辺に垂直で、円の直径に等しくなります。
-円の中心は、角の二等分線が交差する点です。
-側面が接触点によってセグメントHとMに分割されている場合、円の半径はこれらのセグメントの積の平方根に等しくなります。
-接触点、台形の頂点、および内接円の中心によって形成される四辺形-これは、辺が半径に等しい正方形です。
-図の面積は、底の積と底の半和の高さの積に等しくなります。
同様の台形
このトピックは、プロパティを研究するのに非常に便利です。この幾何学的形状。たとえば、対角線は台形を4つの三角形に分割し、底辺に隣接するものは類似しており、辺は同じです。このステートメントは、台形が対角線で分割された三角形のプロパティと呼ぶことができます。この声明の最初の部分は、2つの角度での類似性の兆候によって証明されています。 2番目の部分を証明するには、以下の方法を使用することをお勧めします。
定理の証明
ABSDの図（BPとBSが基本です）を受け入れます台形）は、VDとACの対角線で除算されます。それらの交点はOです。4つの三角形が得られます。AOS（下部ベース）、BOS（上部ベース）、ABOおよびSOD（側面）です。セグメントBOとODがそれらのベースである場合、三角形SODとBFBは共通の高さを持ちます。それらの面積の差（P）は、これらのセグメント間の差に等しいことがわかります：PBOS / PSOD = BO / OD = K。したがって、PSOD = PBOS / Kです。同様に、三角形BFBとAOBの高さは共通です。セグメントSBとOAをベースとします。 PBOS / PAOB = SO / OA = KおよびPAOB = PBOS / Kを取得します。このことから、PSOD = PAOBとなります。
資料を統合するには、学生をお勧めします台形が対角線で除算された、結果の三角形の領域間の関係を見つけて、次の問題を解決します。バイオフィードバックとAODの三角形の面積が等しいことが知られています;台形の面積を見つける必要があります。 PSOD = PAOBであるため、PABSD = PBOS + PAOD + 2 * PSODを意味します。三角形BFBとAODの類似性から、BO / OD =√（PBOS / PAOD）となります。したがって、PBOS / PSOD = BO / OD =√（PBOS / PAOD）。 PSOD =√（PBOS * PAOD）を取得します。次に、PABSD = PBOS + PAOD + 2 *√（PBOS * PAOD）=（√PSOS+√PAOD）2。
類似性プロパティ
このトピックを開発し続けると、証明することができ、台形の他の興味深い機能。したがって、類似性の助けを借りて、この幾何学的図形の対角線の交点によって形成された点を通過するセグメントの特性を、底辺に平行に証明することができます。これを行うには、次の問題を解決します。点Oを通過するセグメントRKの長さを見つける必要があります。三角形AODとBFBの類似性から、AO / OS = AD / BSとなります。 。三角形AORとASBの類似性から、AO / AC = RO / BS = HELL /（BS + HELL）となります。ここから、RO = BS * HELL /（BS + HELL）が得られます。同様に、三角形DOKとDBSの類似性から、OK = BS * HELL /（BS + HELL）となります。ここから、RO = OKおよびRK = 2 * BS * HELL /（BS + HELL）が得られます。対角線の交点を通過し、底辺に平行で2つの側面を接続するセグメントは、交点によって半分になります。その長さは、図の底の調和平均です。
次の台形の品質を考慮してください。4点プロパティと呼ばれます。対角線の交点（O）、側面の延長の交点（E）、および底辺の中点（TとG）は、常に同じ線上にあります。これは、類似性の方法によって簡単に証明されます。結果として得られる三角形BESとAEDは類似しており、それぞれの中央値ETとEZは、頂点Eの角度を等しい部分に分割します。したがって、点E、T、およびЖは1本の直線上にあります。同様に、点T、O、およびZhは、1つの直線上にあります。これはすべて、三角形BFBとAODの類似性に起因します。このことから、E、T、O、Fの4つの点すべてが1本の直線上にあると結論付けます。
そのような台形を使用して、人は提案することができます生徒はセグメントの長さ（LF）を見つけます。これにより、図が2つの類似したものに分割されます。このセグメントは、ベースと平行である必要があります。得られた台形ALPDとLBSFは類似しているため、BS / LF = LF / BPとなります。したがって、LF =√（BS * HELL）になります。台形を2つの類似したセグメントに分割するセグメントの長さは、図の底辺の長さの幾何平均に等しいことがわかります。
次の類似性プロパティを検討してください。これは、台形を2つの同じサイズの図形に分割するセグメントに基づいています。 ABSD台形は、セグメントÅНによって2つの類似したものに分割されていると仮定します。高さは、セグメントEHによってB1とB2の2つの部分に分割されている上部Bから削除されます。 PABSD / 2 =（BS + EH）* B1 / 2 =（HELL + EH）* B2 / 2およびPABSD =（BS + HELL）*（B1 + B2）/ 2を取得します。次に、最初の方程式が（BS + EH）* B1 =（HELL + EH）* B2で、2番目の方程式が（BS + EH）* B1 =（BS + HELL）*（B1 + B2）であるシステムを構成します。 / 2。したがって、B2 / B1 =（BS + EH）/（HELL + EH）およびBS + EH =（（BS + HELL）/ 2）*（1 + B2 / B1）となります。台形を2つの等しいサイズに分割するセグメントの長さは、底辺の長さの二乗平均平方根に等しいことがわかります：√（（BS2 + AD2）/ 2）。
類似性の調査結果
したがって、次のことが証明されました。
1.台形の側面の中点を結ぶ線分は、BPとBSに平行であり、BSとBPの算術平均（台形の底の長さ）に等しくなります。
2. HELLとBSに平行な対角線の交点Oを通る線は、HELLとBSの数の調和平均（2 * BS * HELL /（BS + HELL））に等しくなります。
3.台形を同様のセグメントに分割するセグメントは、BSとHELLのベースの幾何平均の長さを持ちます。
4.図を2つの等しいサイズに分割する要素は、BPとBSの平均平方数の長さを持ちます。
資料を統合し、それらの間の関係を理解するため考慮されるセグメントでは、学生は特定の台形用にそれらを構築する必要があります。彼は、ベースに平行な点O（図の対角線の交点）を通過する中央の線とセグメントを簡単に表示できます。しかし、3番目と4番目はどこにありますか？この答えは、学生が平均間の望ましい関係を発見するように導きます。
台形対角線の中点を結ぶ線分
この図の次のプロパティを検討してください。セグメントMHが底辺に平行であり、対角線を半分に分割すると仮定します。交点はШとШと呼ばれます。このセグメントは、底辺の半分の差に等しくなります。これを詳しく見てみましょう。 MSh-ABS三角形の中央線、BS / 2に等しい。 MChはABD三角形の中央線であり、BP / 2に等しくなります。次に、SHSH = MSH-MSHであるため、SHSH = HELL / 2-BS / 2 =（HELL + VS）/ 2となります。
重心
それがどのように決定されるか見てみましょう与えられた幾何学的形状のこの要素。これを行うには、ベースを反対方向に伸ばす必要があります。どういう意味ですか？下の方を上のベースに追加する必要があります-たとえば、右側など、どちらかの側に追加します。そして、下の方を上の方の長さだけ左に伸ばします。次に、それらを対角線で接続します。このセグメントと図の中央の線との交点は、台形の重心です。
内接および記述された台形
そのような形の特徴をリストしましょう：
1.台形は、二等辺三角形の場合にのみ円に内接できます。
2.台形は、それらの底辺の長さの合計が側面の長さの合計に等しいという条件で、円の周りに記述できます。
内接円の結果：
1.記述された台形の高さは、常に2つの半径に等しくなります。
2.記載されている台形の側面は、円の中心から直角に観察されます。
最初の結果は明らかですが、証明のために2つ目は、SODの角度が正しいことを確認するために必要です。これも、実際には難しくありません。ただし、このプロパティの知識があると、問題を解決するときに直角三角形を使用できます。
では、これらの結果を具体化してみましょう。円に内接する等脚台形。高さは、図のベースの幾何平均であることがわかります：H = 2R =√（BS * HELL）。台形の問題を解くための基本的なテクニック（2つの高さを保持する原理）を練習しながら、生徒は次のタスクを解く必要があります。 BTはABSDの二等辺三角形の高さであると仮定します。セグメントATとTDを見つける必要があります。上記の式を使用すると、これを行うのは難しくありません。
それでは、半径を決定する方法を考えてみましょう外接台形の領域を使用して円を描きます。血圧の上部Bから下部までの高さを下げます。円は台形に内接しているので、BS + HELL = 2ABまたはAB =（BS + HELL）/ 2です。三角形ABNから、sinα= BN / AB = 2 * BN /（BS + HELL）が見つかります。 PABSD =（BS + HELL）* BN / 2、BN = 2R。 PABSD =（BS + HELL）* Rを取得すると、R = PABSD /（BS + HELL）になります。
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台形の正中線のすべての式
次に、この幾何学的形状の最後の要素に移ります。台形（M）の真ん中の線が何であるかを理解しましょう：
1.ベースを介して：M =（A + B）/ 2。
2.高さ、ベース、コーナーを通して：
•M = A-H *（ctgα+ctgβ）/ 2;
•M = B + H *（ctgα+ctgβ）/ 2。
3.高さ、対角線、およびそれらの間の角度を通して。たとえば、D1とD2は台形の対角線です。 α、β-それらの間の角度：
M = D1 * D2 *sinα/ 2H = D1 * D2 *sinβ/ 2H。
4.面積と高さを通して：M = P / N。
