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Maclaurinシリーズと特定の関数の分解

高等数学の学生は知っておくべきです私たちに与えられた級数の収束区間に属する特定のべき級数の合計は、連続的で無限の回数の微分関数であること。疑問が生じます：与えられた任意の関数f（x）が特定のべき級数の合計であると主張することは可能ですか？つまり、どのような条件下でf-ija f（x）をべき級数で表すことができますか？このような質問の重要性は、f-yu f（x）をべき級数の最初の数項の合計、つまり多項式で近似的に置き換えることができるという事実にあります。関数をかなり単純な式（多項式）でこのように置き換えることは、数学分析のいくつかの問題を解決するのにも便利です。つまり、積分を解くとき、微分方程式を計算するときなどです。

いくつかのf-uとf（x）について、近傍（α-R;バツ₀+ R）ある点х=αの場合、次の式が有効です。

この公式には、有名な科学者ブルック・テイラーの名前が付けられています。前のシリーズから得られたシリーズは、マクラウリンシリーズと呼ばれます。

Maclaurin級数の展開を実行できるようにするルール：

1次、2次、3次...の次数の導関数を決定します。
x = 0での導関数が何に等しいかを計算します。
この関数のMaclaurin級数を書き留めてから、その収束の間隔を決定します。
間隔（-R; R）を決定します。ここで、マクラウリン公式の残りの部分

R_ん（x）-> 0 asn->無限大。そのようなものが存在する場合、その中で関数f（x）はMaclaurin級数の合計と一致する必要があります。

ここで、個々の機能についてMaclaurin級数を考えてみましょう。

1.したがって、最初はf（x）= eになります^x..。もちろん、その特異点により、そのような関数は非常に異なる次数の導関数を持ち、f^（k）（x）= e^と、ここで、kはすべての自然数に等しい。 x = 0に置き換えます。私たちはfを取得します^（k）（0）= e⁰= 1、k = 1,2 ...上記に基づいて、シリーズe^x次のようになります。

2.関数f（x）= sinxのマクラウリン級数。すべての未知数の関数には導関数があることをすぐに明確にしましょう。さらに、f^」（x）= cos x = sin（x + n / 2）、f^「」（x）= -sin x = sin（x + 2 * n / 2）...、f^（k）（x）= sin（x + k * n / 2）、ここでkは任意の自然数に等しい。つまり、簡単な計算を行った後、f（x）= sinxの級数は次の形式になるという結論に達することができます。

3.ここで、f-yu f（x）= cosxについて考えてみましょう。すべての未知数について、任意の次数の導関数があり、| f^（k）（x）| = | cos（x + k * n / 2）| <= 1、k = 1.2 ...繰り返しますが、特定の計算を行った後、f（x）= cosxの級数は次のようになります。

だから、私たちは最も重要な機能をリストアップしましたMaclaurin級数に拡張できますが、一部の機能についてはTaylor級数によって補完されます。次に、それらもリストします。テイラー級数とマクラウリン級数は、高等数学の級数を解くためのワークショップの重要な部分であることも注目に値します。だから、テイラーはランク付けします。

1.最初は、f-ii f（x）= ln（1 + x）のシリーズになります。前の例のように、与えられたf（x）= ln（1 + x）に対して、Maclaurin級数の一般的な形式を使用して級数を追加できます。ただし、Maclaurin級数は、この関数のためにはるかに簡単に取得できます。特定の等比数列を統合すると、そのようなサンプルのf（x）= ln（1 + x）の級数が得られます。