"माइनस" के लिए "प्लस" "माइनस" क्यों दिया जाता है?

गणित के शिक्षक की बात सुनकर अधिकांश छात्रसामग्री को एक स्वयंसिद्ध के रूप में लें। उसी समय, कुछ लोग इसकी तह तक जाने की कोशिश कर रहे हैं और यह पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि "माइनस" से "प्लस" क्यों "माइनस" साइन देता है, और जब दो नेगेटिव नंबरों को गुणा किया जाता है, तो एक पॉजिटिव निकल आता है।

गणित के नियम

अधिकांश वयस्क व्याख्या नहीं कर सकतेमेरे लिए, मेरे बच्चों को नहीं, ऐसा क्यों है। उन्होंने इस सामग्री को स्कूल में दृढ़ता से सीखा, लेकिन यह पता लगाने की कोशिश भी नहीं की कि ये नियम कहां से आए हैं। परन्तु सफलता नहीं मिली। अक्सर, आधुनिक बच्चे इतने भरोसेमंद नहीं होते हैं, उन्हें मामले की तह तक जाने और समझने की जरूरत है, कहते हैं, "माइनस" के लिए "प्लस" "माइनस" क्यों देता है। और कभी-कभी मकबरे विशेष रूप से उस क्षण का आनंद लेने के लिए मुश्किल सवाल पूछते हैं जब वयस्क एक समझदार जवाब नहीं दे सकते। और अगर एक युवा शिक्षक मुसीबत में पड़ जाए तो यह वास्तव में एक आपदा है ...

वैसे, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उपरोक्तनियम गुणन और भाग दोनों के लिए मान्य है। एक ऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या का गुणनफल केवल "ऋण" देगा। यदि हम "-" चिन्ह वाले दो अंकों की बात कर रहे हैं, तो परिणाम एक सकारात्मक संख्या होगी। वही विभाजन के लिए जाता है। यदि संख्याओं में से एक ऋणात्मक है, तो भागफल भी "-" चिह्न के साथ होगा।

इस कानून की शुद्धता की व्याख्या करने के लिएगणित, रिंग के स्वयंसिद्ध सूत्र बनाना आवश्यक है। लेकिन पहले आपको यह समझने की जरूरत है कि यह क्या है। गणित में, एक वलय को आमतौर पर एक सेट कहा जाता है जिसमें दो तत्वों के साथ दो ऑपरेशन शामिल होते हैं। लेकिन एक उदाहरण के साथ इससे निपटना बेहतर है।

अंगूठी स्वयंसिद्ध

कई गणितीय नियम हैं।

• उनमें से पहला विस्थापन योग्य है, उनके अनुसार, सी + वी = वी + सी।
• दूसरे को संयोजन (वी + सी) + डी = वी + (सी + डी) कहा जाता है।

वे गुणन (V x C) x D = V x (C x D) के अधीन भी हैं।

किसी ने भी उन नियमों को रद्द नहीं किया है जिनके द्वारा कोष्ठक (V + C) x D = V x D + C x D खुलते हैं, यह भी सत्य है कि C x (V + D) = C x V + C x D।

इसके अलावा, यह पाया गया कि एक कर सकते हैंएक विशेष, अतिरिक्त-तटस्थ तत्व पेश करें, जिसका उपयोग करते समय निम्नलिखित सत्य होंगे: सी + 0 = सी। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक सी के लिए एक विपरीत तत्व होता है, जिसे (-सी) के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस मामले में, सी + (-सी) = 0।

ऋणात्मक संख्याओं के लिए अभिगृहीतों की व्युत्पत्ति

उपरोक्त कथनों को स्वीकार करने के बाद, कोई भी कर सकता हैप्रश्न का उत्तर दें: "ऋण चिह्न के लिए धन चिह्न क्या है?" ऋणात्मक संख्याओं के गुणन के अभिगृहीत को जानने के बाद, यह पुष्टि करना आवश्यक है कि वास्तव में (-C) x V = - (C x V) है। और यह भी कि निम्नलिखित समानता सत्य है: (- (- C)) = C.

ऐसा करने के लिए, हमें पहले यह साबित करना होगा किप्रत्येक तत्व के लिए, केवल एक विपरीत "भाई" है। प्रमाण के निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें। आइए कल्पना करने की कोशिश करें कि सी के लिए दो संख्याएं विपरीत हैं - वी और डी। यह इस प्रकार है कि सी + वी = 0 और सी + डी = 0, यानी सी + वी = 0 = सी + डी। विस्थापन कानूनों को याद रखना और इसके बारे में संख्या 0 के गुणधर्म, हम तीनों संख्याओं के योग पर विचार कर सकते हैं: C, V और D। आइए V का मान निकालने का प्रयास करें। यह तर्कसंगत है कि V = V + 0 = V + (C + D) = वी + सी + डी, क्योंकि सी + डी का मान, जैसा कि ऊपर स्वीकार किया गया था, 0 के बराबर है। इसलिए, वी = वी + सी + डी।

D के लिए मान उसी तरह प्रदर्शित किया जाता है: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D। इसके आधार पर, यह स्पष्ट हो जाता है कि V = D।

यह समझने के लिए कि क्यों, फिर भी, "माइनस" के लिए "प्लस" एक "माइनस" देता है, निम्नलिखित को समझना आवश्यक है। तो, तत्व के लिए (-C), C और (- (- C)) विपरीत हैं, अर्थात वे एक दूसरे के बराबर हैं।

तब यह स्पष्ट है कि 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V। इसका तात्पर्य है कि C x V, (-) C x V के विपरीत है, इसलिए (- सी) एक्स वी = - (सी एक्स वी)।

पूर्ण गणितीय कठोरता के लिए यह आवश्यक हैफिर भी पुष्टि करें कि किसी भी वस्तु के लिए 0 x V = 0 है। यदि आप तर्क का पालन करते हैं, तो 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V। इसका अर्थ है कि गुणनफल 0 x V का योग किसी भी तरह से निर्धारित राशि को नहीं बदलता है। आखिरकार, यह उत्पाद शून्य के बराबर है।

इन सभी स्वयंसिद्धों को जानकर, आप न केवल "माइनस" पर कितने "प्लस" देते हैं, बल्कि यह भी घटा सकते हैं कि नकारात्मक संख्याओं को गुणा करके क्या प्राप्त किया जाता है।

"-" के साथ दो संख्याओं का गुणा और भाग

यदि आप गणितीय बारीकियों में तल्लीन नहीं करते हैं, तो आप ऋणात्मक संख्याओं के साथ क्रिया के नियमों को सरल तरीके से समझाने का प्रयास कर सकते हैं।

मान लीजिए कि C - (-V) = D, इसके आधार पर, C =डी + (-वी), यानी सी = डी - वी। हम वी को स्थानांतरित करते हैं और हमें वह सी + वी = डी मिलता है। यानी सी + वी = सी - (-वी)। यह उदाहरण बताता है कि एक अभिव्यक्ति में जहां एक पंक्ति में दो "माइनस" हैं, उल्लिखित संकेतों को "प्लस" में क्यों बदला जाना चाहिए। अब चलो गुणा से निपटते हैं।

(-C) x (-V) = D, आप व्यंजक में दो समान उत्पाद जोड़ और घटा सकते हैं, जिससे इसका मान नहीं बदलेगा: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x वी) = डी।

कोष्ठक के साथ काम करने के नियमों को याद करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

1) (-सी) एक्स (-वी) + (सी एक्स वी) + (-सी) एक्स वी = डी;

2) (-सी) एक्स ((-वी) + वी) + सी एक्स वी = डी;

3) (-सी) एक्स 0 + सी एक्स वी = डी;

4) सी एक्स वी = डी।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि C x V = (-C) x (-V)।

इसी तरह, आप यह साबित कर सकते हैं कि दो ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने पर एक धनात्मक संख्या प्राप्त होगी।

सामान्य गणित नियम

बेशक, ऐसा स्पष्टीकरण काम नहीं करेगाप्राथमिक विद्यालय के छात्र जो अभी-अभी अमूर्त ऋणात्मक संख्याएँ सीखना शुरू कर रहे हैं। उनके लिए यह बेहतर है कि वे दिखने वाले कांच के माध्यम से परिचित शब्द में हेरफेर करते हुए, दृश्यमान वस्तुओं पर व्याख्या करें। उदाहरण के लिए, आविष्कार किए गए, लेकिन मौजूदा खिलौने वहां स्थित नहीं हैं। उन्हें "-" चिह्न के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है। दो दर्पण जैसी वस्तुओं का गुणन उन्हें दूसरी दुनिया में स्थानांतरित कर देता है, जो वर्तमान के बराबर होता है, अर्थात, हमारे पास सकारात्मक संख्याएं होती हैं। लेकिन एक अमूर्त ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर ही सभी को परिचित परिणाम मिलता है। आखिर "प्लस" को "माइनस" से गुणा करने पर "माइनस" मिलता है। सच है, प्राथमिक स्कूल की उम्र में, बच्चे गणित की सभी बारीकियों को जानने की बहुत कोशिश नहीं करते हैं।

हालांकि, ईमानदार होने के लिए, कई लोगों के लिएउच्च शिक्षा और कई नियमों वाले लोग भी एक रहस्य बने हुए हैं। शिक्षक जो कुछ भी सिखाते हैं, उसे हर कोई मान लेता है, गणित की उन सभी कठिनाइयों को जानने से नहीं हिचकिचाता। "माइनस" के लिए "माइनस" "प्लस" देता है - बिना किसी अपवाद के, हर कोई इसके बारे में जानता है। यह पूर्ण और भिन्नात्मक दोनों संख्याओं के लिए सत्य है।