Qu'est-ce que la probabilité conditionnelle et comment la calculer correctement?

Souvent dans la vie nous rencontrons ce dont nous avons besoinévaluer les chances qu'un événement se produise. Vaut-il la peine d'acheter un billet de loterie ou non, quel sera le sexe du troisième enfant de la famille, si le temps sera clément demain ou s'il va pleuvoir à nouveau - d'innombrables exemples peuvent être cités. Dans le cas le plus simple, le nombre de résultats favorables doit être divisé par le nombre total d'événements. S'il y a 10 billets gagnants à la loterie et qu'il y en a 50 au total, les chances d'obtenir un prix sont de 10/50 = 0,2, soit 20 contre 100. Mais que se passe-t-il s'il y a plusieurs événements et qu'ils sont étroitement liés? Dans ce cas, nous ne nous intéresserons plus à une probabilité simple, mais conditionnelle. Quelle est cette valeur et comment peut-elle être calculée - ceci sera discuté dans notre article.

Le concept de

La probabilité conditionnelle est la probabilité d'occurrenceun événement spécifique, à condition qu'un autre événement connexe se soit déjà produit. Regardons un exemple simple de lancer à pile ou face. S'il n'y a pas encore eu de match nul, les chances d'obtenir pile ou face seront les mêmes. Mais si cinq fois de suite la pièce tombait avec les armoiries relevées, alors acceptez de vous attendre au 6e, au 7e et plus encore à la 10e répétition d'un tel résultat sera illogique. À chaque occurrence répétée de têtes, les chances d'apparition d'une queue augmentent et, tôt ou tard, elles apparaîtront.

Formule de probabilité conditionnelle

Voyons maintenant comment cette valeurcalculé. Notons le premier événement par B, et le second par A. Si les chances d'occurrence de B sont différentes de zéro, alors l'égalité suivante sera vraie :

P (A | B) = P (AB) / P (B), où :

• Р (А | В) - probabilité conditionnelle du total А;
• P (AB) est la probabilité d'occurrence conjointe des événements A et B ;
• P (B) est la probabilité de l'événement B.

En transformant légèrement ce rapport, nous obtenons P (AB) = P (A | B) * P (B). Et si nous appliquons la méthode d'induction, nous pouvons alors dériver une formule de produit et l'utiliser pour un nombre arbitraire d'événements :

P (A₁, ET₂, ET₃,…UNE_P) = P (A₁| Un₂…UNE_P) * P (A₂| Un₃…UNE_P) * P (A₃| Un₄…UNE_P) ... P (A_n-1| Un_P) * P (A_P).

Pratique

Pour mieux comprendre commentla probabilité conditionnelle d'un événement est calculée, considérons quelques exemples. Supposons que vous ayez un vase contenant 8 chocolats et 7 menthes. Ils sont de la même taille et deux d'entre eux sont tirés au hasard de manière séquentielle. Quelles sont les chances que les deux se révèlent être du chocolat ? Introduisons la notation. Soit le total A signifie que le premier bonbon est du chocolat, et le total B - le deuxième bonbon. Ensuite, vous obtenez les éléments suivants :

P (A) = P (B) = 8/15,

P (A | B) = P (B | A) = 7/14 = 1/2,

P (AB) = 8/15 x 1/2 = 4/15 0,27

Considérons un autre cas. Supposons qu'il y ait une famille de deux enfants et que nous sachions qu'au moins un enfant est une fille.

Quelle est la probabilité conditionnelle que les garçons aientces parents ne le sont pas encore ? Comme dans le cas précédent, commençons par la notation. Soit P (B) - la probabilité qu'il y ait au moins une fille dans la famille, P (A | B) - la probabilité que le deuxième enfant soit aussi une fille, P (AB) - les chances qu'il y ait deux filles dans la famille. Faisons maintenant les calculs. Au total, il peut y avoir 4 combinaisons différentes du sexe des enfants, et dans un seul cas (quand il y a deux garçons dans la famille), il n'y aura pas de fille parmi les enfants. Par conséquent, la probabilité P (B) = 3/4, et P (AB) = 1/4. Ensuite, en suivant notre formule, nous obtenons :

P (A | B) = 1/4 : 3/4 = 1/3.

Vous pouvez interpréter le résultat comme ceci :si nous ne connaissions pas le sexe de l'un des enfants, les chances d'avoir deux filles seraient de 25 à 100. Mais puisque nous savons qu'un enfant est une fille, la probabilité qu'il n'y ait pas de garçons dans la famille passe à un. -troisième.