Les différentiels - qu'est-ce que c'est? Comment trouver la fonction différentielle?

Avec les dérivés leurs fonctions les différentiels sont l'un des concepts de base du différentielcalcul, la section principale de l'analyse mathématique. Étant inextricablement liés, les deux ont été activement utilisés pendant plusieurs siècles pour résoudre presque tous les problèmes qui se sont posés dans le processus de l'activité humaine scientifique et technique.

L'émergence du concept de différentiel

D'abord expliqué ce qu'est un différentiel, undes fondateurs (avec Isaac Newton) du calcul différentiel, le célèbre mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz. Avant cela, les mathématiciens du 17e Art. utilisé une idée très floue et vague d'une partie "indivisible" infinitésimale de toute fonction connue, représentant une très petite valeur constante, mais non égale à zéro, inférieure à laquelle les valeurs de la fonction ne peuvent tout simplement pas être. De là, il n'y avait qu'un pas vers l'introduction du concept d'incréments infiniment petits des arguments des fonctions et des incréments correspondants des fonctions elles-mêmes, exprimés à travers les dérivées de ces dernières. Et cette étape a été franchie presque simultanément par les deux grands scientifiques susmentionnés.

Partant de la nécessité de répondre à l'urgencedes problèmes pratiques de la mécanique, que l'industrie et la technologie en développement rapide posaient à la science, Newton et Leibniz ont créé des méthodes générales pour trouver le taux de changement de fonctions (principalement en relation avec la vitesse mécanique de mouvement d'un corps le long d'une trajectoire connue), qui ont conduit à l'introduction de concepts tels que la dérivée et la différentielle d'une fonction , et a également trouvé un algorithme pour résoudre le problème inverse, comment trouver le chemin parcouru à partir d'une vitesse (variable) connue, ce qui a conduit à l'émergence du concept d'une intégrale.

Dans les écrits de Leibniz et Newton, il est apparu pour la première foisl'idée que les différentiels sont proportionnels aux incréments des arguments Δх, les principales parties des incréments des fonctions Δу, qui peuvent être appliquées avec succès pour calculer les valeurs de ces dernières. En d'autres termes, ils ont découvert que l'incrément d'une fonction peut être en tout point (dans la région de sa définition) exprimé par sa dérivée comme Δу = y "(x) Δх + αΔх, où α Δх est le reste, tendant à zéro comme Δх → 0 est beaucoup plus rapide que Δx lui-même.

Selon les fondateurs de matanalysis,les différentiels sont exactement les premiers termes des expressions pour les incréments de toutes les fonctions. Ne possédant toujours pas un concept clairement formulé de la limite des séquences, ils ont compris intuitivement que la valeur du différentiel tend vers la dérivée de la fonction comme Δх → 0 - Δу / Δх → y "(x).

Contrairement à Newton, qui était principalementphysicien, et considéré l'appareil mathématique comme un outil auxiliaire pour l'étude des problèmes physiques, Leibniz a accordé plus d'attention à cette boîte à outils même, y compris le système de désignations visuelles et compréhensibles des grandeurs mathématiques. C'est lui qui a proposé la notation généralement acceptée pour les différentiels de la fonction dy = y "(x) dx, l'argument dx et la dérivée de la fonction sous la forme de leur rapport y" (x) = dy / dx.

Définition moderne

Qu'est-ce qu'une différence du point de vue des mathématiques modernes? Il est étroitement lié au concept d'incrément variable. Si la variable y prend d'abord la valeur y = y₁puis y = y₂, alors la différence y₂ ─ y₁ est appelé l'incrément de y.

L'incrément peut être positif. négatif et égal à zéro. Le mot «incrément» est noté Δ, l'enregistrement Δy (lu «delta game») désigne l'incrément de la valeur y. de sorte que Δу = y₂ ─ y₁.

Si la valeur Δу d'une fonction arbitraire y = f (x)il est possible de représenter sous la forme Δу = A Δх + α, où A ne dépend pas de Δх, c'est-à-dire A = const pour un x donné, et le terme α en Δх → 0 y tend encore plus vite que Δх lui-même, alors le premier ("Main") terme proportionnel à Δх, et est pour y = f (x) le différentiel, noté dy ou df (x) (lit "de yrek", "de eff from x"). Par conséquent, les différentiels sont les composantes «principales» des incréments de fonctions, linéaires par rapport à Δх.

Interprétation mécanique

Soit s = f (t) une distance en ligne droitedéplacement du point matériel de sa position initiale (t est le temps passé sur le chemin). L'incrément Δs est le trajet du point sur l'intervalle de temps Δt, et le différentiel ds = f "(t) Δt est le trajet que le point aurait parcouru dans le même temps Δt s'il avait conservé la vitesse f" (t) atteinte au temps t ... Pour un Δt infiniment petit, le chemin imaginaire ds diffère du vrai Δs par une valeur infinitésimale, qui a un ordre supérieur par rapport à Δt. Si la vitesse au temps t n'est pas nulle, alors ds donne une valeur approximative pour le petit déplacement du point.

Interprétation géométrique

Soit la ligne L le graphe de y = f (x). Alors Δ х = MQ, Δу = QM "(voir la figure ci-dessous). La ligne tangente MN divise le segment Δу en deux parties, QN et NM". Le premier est proportionnel à Δх et est égal à QN = MQ ∙ tg (angle QMN) = Δх f "(x), c'est-à-dire que QN est le différentiel dy.

La deuxième partie NM "donne la différence Δу ─ dy, à Δх → 0la longueur NM "décroît encore plus vite que l'incrément de l'argument, c'est-à-dire que son ordre de petitesse est supérieur à celui de Δx. Dans le cas considéré, pour f" (x) ≠ 0 (la tangente n'est pas parallèle à OX), les segments QM "et QN sont équivalents; en d'autres termes, NM "décroît plus rapidement (l'ordre de sa petite taille est plus élevé) que l'incrément total Δу = QM". Ceci peut être vu sur la figure (à mesure que M "s'approche de M, le segment NM" constitue un plus petit pourcentage du segment QM ").

Ainsi, graphiquement, le différentiel d'une fonction arbitraire est égal à l'incrément de l'ordonnée de sa tangente.

Dérivée et différentielle

Le coefficient A dans le premier terme de l'expression pour l'incrément de la fonction est égal à la valeur de sa dérivée f "(x). Ainsi, la relation suivante est vraie - dy = f" (x) Δх, ou df (x) = f "(x) Δх.

On sait que l'incrément d'un argument indépendant est égal à son différentiel Δх = dx. En conséquence, vous pouvez écrire: f "(x) dx = dy.

La recherche (parfois dite «résolution») des différentiels est effectuée selon les mêmes règles que pour les dérivés. Une liste d'entre eux est donnée ci-dessous.

Ce qui est le plus universel: l'incrémentation de l'argument ou son différentiel

Quelques clarifications sont nécessaires ici. La représentation par la quantité f "(x) Δх du différentiel est possible en considérant x comme un argument. Mais la fonction peut être complexe, dans laquelle x peut être fonction d'un argument t. Alors la représentation du différentiel par l'expression f" (x) Δх est, en règle générale, impossible; sauf pour le cas de dépendance linéaire х = at + b.

Quant à la formule f "(x) dx = dy, alors dans le cas d'un argument indépendant x (alors dx = Δx), et dans le cas d'une dépendance paramétrique de x sur t, elle représente un différentiel.

Par exemple, l'expression 2 x Δx représente pour y = x² son différentiel lorsque x est un argument. Maintenant, nous mettons x = t² et nous considérerons t comme un argument. Alors y = x² = t⁴.

Ceci est suivi de (t + Δt)² = t² + 2tΔt + Δt²... Par conséquent, Δх = 2tΔt + Δt²... Moyens: 2xΔx = 2t² (2tΔt + Δt² ).

Cette expression n'est pas proportionnelle à Δt et donc maintenant 2xΔx n'est pas un différentiel. Il peut être trouvé à partir de l'équation y = x² = t⁴... Il s'avère être égal à dy = 4t³Δt.

Si nous prenons l'expression 2xdx, alors cela représente le différentiel y = x² pour tout argument t. En effet, pour x = t² on obtient dx = 2tΔt.

Donc 2xdx = 2t²2tΔt = 4t³Δt, c'est-à-dire que les expressions des différentiels écrites en termes de deux variables différentes coïncidaient.

Remplacement des incréments par des différentiels

Si f "(x) ≠ 0, alors Δу et dy sont équivalents (lorsque Δх → 0); lorsque f" (x) = 0 (ce qui signifie dy = 0), ils ne sont pas équivalents.

Par exemple, si y = x², alors Δу = (x + Δх)² ─ x²= 2xΔx + Δx², et dy = 2xΔx. Si x = 3, alors on a Δy = 6Δx + Δx² et dy = 6Δх, qui sont équivalents en raison de Δх²→ 0, à х = 0 les valeurs Δу = Δх² et dy = 0 ne sont pas équivalents.

Ce fait, avec une structure simpledifférentielle (c'est-à-dire la linéarité par rapport à Δx), est souvent utilisée dans les calculs approximatifs, sous l'hypothèse que Δу ≈ dy pour un petit Δх. Trouver le différentiel d'une fonction est généralement plus facile que de calculer la valeur exacte de l'incrément.

Par exemple, nous avons un cube en métal avec un bord x = 10,00 cm. Lorsqu'il est chauffé, le bord est allongé de Δх = 0,001 cm. De combien le volume V du cube a-t-il augmenté? Nous avons V = x²donc dV = 3x²Δх = 3 ∙ 10²∙ 0/01 = 3 (cm³). L'augmentation de volume ΔV équivaut au différentiel dV, de sorte que ΔV = 3 cm³... Un calcul complet donnerait ΔV = 10,01³ ─ 10³ = 3,003001. Mais dans ce résultat, tous les nombres sauf le premier ne sont pas fiables; donc, de toute façon, vous devez l'arrondir à 3 cm³.

Évidemment, cette approche n'est utile que s'il est possible d'estimer l'ampleur de l'erreur introduite.

Différentiel de fonction: exemples

Essayons de trouver le différentiel de la fonction y = x³sans trouver de dérivé. Donnons un incrément à l'argument et définissons Δу.

Δу = (Δх + x)³ ─ x³ = 3x²Δx + (3xΔx² + Δx³).

Ici coefficient A = 3x² ne dépend pas de Δx, de sorte que le premier terme est proportionnel à Δx, tandis que l'autre terme est 3xΔx² + Δx³ à Δх → 0 diminue plus vite que l'incrément de l'argument. Alors bite 3x²Δх est le différentiel y = x^3:

dy = 3x²Δх = 3x²dx ou d (x³) = 3x²dx.

De plus, d (x³) / dx = 3x².

Trouvons maintenant dy de la fonction y = 1 / x en fonction de sa dérivée. Alors d (1 / x) / dx = ─1 / x²... Donc dy = ─ Δх / х².

Les différentiels des fonctions algébriques de base sont donnés ci-dessous.

Approximation différentielle

Il est souvent facile de calculer la fonction f (x), ainsi que sa dérivée f "(x) pour x = a, mais il n'est pas facile de faire de même au voisinage du point x = a. Alors une expression approchée vient à la rescousse

f (a + Δх) ≈ f "(a) Δх + f (a).

Il donne une valeur approximative de la fonction à petits incréments Δх grâce à son différentiel f "(a) Δх.

Par conséquent, cette formule donne une approximationexpression de la fonction au point final d'une certaine section de longueur Δx comme somme de sa valeur au point de départ de cette section (x = a) et du différentiel au même point de départ. L'erreur de cette méthode de détermination de la valeur de la fonction est illustrée dans la figure ci-dessous.

Cependant, l'expression exacte de la valeur de la fonction pour x = a + Δх est également connue, donnée par la formule des incréments finis (ou, en d'autres termes, par la formule de Lagrange)

f (a + Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f (a),

où le point x = a + ξ est situé sur le segment de x = ajusqu'à x = a + Δх, bien que sa position exacte soit inconnue. La formule exacte vous permet d'estimer l'erreur de la formule approximative. Si, cependant, nous mettons ξ = Δx / 2 dans la formule de Lagrange, alors même si elle cesse d'être exacte, elle donne généralement une bien meilleure approximation que l'expression originale à travers la différentielle.

Estimer l'erreur des formules à l'aide du différentiel

Les instruments de mesure sont en principe imprécis etintroduire les erreurs correspondantes dans les données de mesure. Ils sont caractérisés par l'erreur absolue limite, ou, en bref, l'erreur limite - un nombre positif qui dépasse évidemment cette erreur en valeur absolue (ou, dans le cas extrême, égal à elle). L'erreur relative limite est appelée le quotient de sa division par la valeur absolue de la valeur mesurée.

Soit la formule exacte y = f (x) utilisée pourcalcul de la fonction y, mais la valeur de x est le résultat de la mesure et introduit donc une erreur dans y. Ensuite, pour trouver l'erreur absolue limite │‌‌Δу│ de la fonction y, utilisez la formule

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│ = │ f "(x) ││Δх│,

où │Δх│ est l'erreur limite de l'argument. La valeur │‌‌Δу│ doit être arrondie, car il est inexact lui-même de remplacer le calcul de l'incrément par le calcul du différentiel.