Mikä on ehdollista todennäköisyyttä ja kuinka laskea se oikein?

Usein elämässä kohtaamme sitä, mitä tarvitaanarvioi tapahtuman mahdollisuus. Onko arvontalipun ostaminen vai ei, mitkä ovat perheen kolmannen lapsen sukupuoli, onko sää huomenna selkeä vai sataa taas - sellaisia ​​esimerkkejä on lukemattomia. Yksinkertaisimmassa tapauksessa myönteisten tulosten lukumäärä tulisi jakaa tapahtumien kokonaismäärällä. Jos arvonnassa on 10 voittajalippua ja niitä on yhteensä 50, niin palkinnot ovat todennäköisesti 10/50 = 0,2, eli 20 vastaan ​​100. Mutta mitä tehdä, jos tapahtumia on useita ja ne liittyvät läheisesti toisiinsa? Tässä tapauksessa meitä ei enää kiinnosta yksinkertainen, vaan ehdollisuus. Mikä tämä arvo on ja kuinka se voidaan laskea - tästä tulee tarkalleen mitä käsittelemme artikkelissamme.

Käsite

Ehdollinen todennäköisyys on tapahtuman todennäköisyystietty tapahtuma, edellyttäen että toinen asiaan liittyvä tapahtuma on jo tapahtunut. Otetaanpa yksinkertainen esimerkki kolikon heittämisestä. Jos tasapeliä ei ole vielä tapahtunut, mahdollisuudet pään tai hännän saamiseen ovat samat. Mutta jos viisi kertaa peräkkäin kolikko putosi vaakan kanssa ylöspäin, suostukaa odottamaan, että kuudes, seitsemäs ja vieläkin enemmän tällaisen lopputuloksen toistaminen 10. on epäloogista. Joka kerta kun pää nousee, hännän todennäköisyys tulla esiin ja ennemmin tai myöhemmin se tulee esiin.

Ehdollinen todennäköisyyskaava

Otetaan nyt selville, kuinka tämä arvo onlaskettu. Merkitään ensimmäistä tapahtumaa B: llä ja toista A. Jos B: n esiintymismahdollisuudet poikkeavat nollasta, seuraava tasa-arvo on totta:

P (A | B) = P (AB) / P (B), missä:

• P (A | B) on lopputuloksen A ehdollinen todennäköisyys;
• P (AB) - tapahtumien A ja B yhteisen esiintymisen todennäköisyys;
• P (B) on tapahtuman B todennäköisyys.

Muuttamalla hiukan tätä suhdetta, saadaan P (AB) = P (A | B) * P (B). Ja jos sovellamme induktiomenetelmää, niin voimme johtaa tuotekaavan ja käyttää sitä mielivaltaiseen määrään tapahtumia:

P (A₁, JA₂, JA₃,…JA_n) = P (A₁| A₂…JA_n) * P (A₂| A₃…JA_n) * P (A₃| A₄…JA_n) ... P (A_n-1| A_n) * P (A_n).

käytäntö

Jotta olisi helpompi selvittää mitentapahtuman ehdollinen todennäköisyys lasketaan, harkitse muutamaa esimerkkiä. Oletetaan, että sinulla on maljakko, joka sisältää 8 suklaata ja 7 minttua. Ne ovat kooltaan samanlaisia ​​ja kaksi niistä vedetään satunnaisesti peräkkäin. Mitkä ovat mahdollisuudet, että molemmat osoittautuvat suklaiksi? Otetaan käyttöön merkintä. Olkoon yhteensä A tarkoittaa, että ensimmäinen karkki on suklaata, ja yhteensä B - toinen karkki. Sitten saat seuraavan:

P (A) = P (B) = 8/15,

P (A | B) = P (B | A) = 7/14 = 1/2,

P (AB) = 8/15 x 1/2 = 4/15 ≈ 0,27

Tarkastellaan vielä yhtä tapausta. Oletetaan, että perheessä on kaksi lasta ja tiedämme, että ainakin yksi lapsi on tyttö.

Mikä on poikien ehdollinen todennäköisyys?Eikö nämä vanhemmat ole vielä? Kuten edellisessä tapauksessa, aloitetaan merkinnällä. Olkoon P (B) - todennäköisyys, että perheessä on vähintään yksi tyttö, P (A | B) - todennäköisyys, että toinen lapsi on myös tyttö, P (AB) - todennäköisyys, että perheessä on kaksi tyttöä perhe. Tehdään nyt laskelmat. Kaikkiaan lasten sukupuoleen voi liittyä 4 eri yhdistelmää, ja vain yhdessä tapauksessa (kun perheessä on kaksi poikaa) ei ole tyttöä lasten keskuudessa. Siksi todennäköisyys P (B) = 3/4 ja P (AB) = 1/4. Sitten seuraamme kaavaa:

P (A | B) = 1/4: 3/4 = 1/3.

Voit tulkita tuloksen seuraavasti:Jos emme tietäisi yhden lapsen sukupuolta, kahden tytön mahdollisuudet olisivat 25-100. Mutta koska tiedämme, että yksi lapsi on tyttö, todennäköisyys, että perheessä ei ole poikia, kasvaa yhdeksi -kolmas.