Cramerin menetelmä on yksi tarkkoista menetelmistälineaaristen algebran yhtälöiden (SLAE) ratkaiseminen. Sen tarkkuus johtuu järjestelmän matriisin determinanttien käytöstä sekä tietyistä lauseen todistamisen aikana asetetuista rajoituksista.
Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä, jonka kertoimet kuuluvat esimerkiksi joukkoon R - reaalilukuihin, tuntemattomille x1, x2, ..., xn on muodon lausekkeiden sarja
ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = bi i = 1, 2, ..., m, (1)
missä aij, bi ovat todellisia lukuja. Kutakin näistä lausekkeista kutsutaan lineaariseksi yhtälöksi, tuntemattomien aij-kertoimiksi, yhtälöiden kaksinkertaiseksi kertoimiksi.
Ratkaisu järjestelmään (1) on n-ulotteinen vektori x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), kun järjestelmään korvataan tuntemattomien x1, x2, ..., xn sijasta, jokaisesta järjestelmän juovasta tulee todellinen tasa-arvo. .
Järjestelmää kutsutaan yhteiseksi, jos siinä on ainakin yksi ratkaisu, ja yhteensopimattomaksi, jos sen ratkaisukokonaisuus osuu tyhjään joukkoon.
On muistettava, että löytääRatkaisemalla lineaaristen algebran yhtälöiden järjestelmät Cramer-menetelmällä, järjestelmän matriisin tulee olla neliömäinen, mikä tarkoittaa käytännössä samaa määrää tuntemattomia ja yhtälöitä järjestelmässä.
Итак, чтобы использовать метод Крамера, sinun on ainakin tiedettävä, mikä on lineaarisen algebran yhtälöiden järjestelmien matriisi ja kuinka se kirjoitetaan. Ja toiseksi, ymmärrä, mitä kutsutaan matriisin determinantiksi, ja osaa laskea se.
Oletetaan, että sinulla on tämä tieto.Ihana! Sitten sinun on vain muistettava kaavat, jotka määrittävät Cramer-menetelmän. Muistamisen yksinkertaistamiseksi käytämme seuraavaa merkintää:
Det on järjestelmämatriisin päätehtävä;
deti on johdetun matriisin determinanttijärjestelmän päämatriisi, jos korvaamme matriisin i: nnen sarakkeen sarakevektorilla, jonka elementit ovat lineaarisen algebran yhtälöiden järjestelmien oikeat osat;
n on tuntemattomien ja yhtälöiden lukumäärä järjestelmässä.
Sitten Cramerin sääntö n-ulotteisen vektorin x: nnen i-komponentin xi (i = 1, .. n) laskemiseksi voidaan kirjoittaa
xi = deti / Det, (2).
Tässä tapauksessa Det on ehdottoman nolla.
Единственность решения системы при ее Yhteensopivuus tarjoaa järjestelmän päätehtävän tekijän eriarvoisuuden nollaan. Muussa tapauksessa, jos neliön summa (xi) on ehdottomasti positiivinen, neliömatriisin SLAE ei ole yhteensopiva. Näin voi tapahtua etenkin, kun ainakin yksi deteistä on nolla.
Esimerkki 1. Ratkaise kolmiulotteinen LAU-järjestelmä Cramerin kaavoilla.
x1 + 2 x2 + 4 x3 = 31,
5 x1 + x2 + 2 x3 = 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.
Päätös. Me kirjoitamme järjestelmän matriisin rivi riviltä, missä Ai on matriisin i: nnen rivi.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3 - 1 1).
Vapaiden kertoimien pylväs b = (31 29 10).
Det-järjestelmän päätekijä on
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a32 a23 - a33 a21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = –27.
Det1: n laskemiseksi käytämme substituutiota a11 = b1, a21 = b2, a31 = b3. sitten
det1 = b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 b2 a12 = ... = –81.
Samoin det2: n laskemiseksi käytämme substituutiota a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3 ja vastaavasti laskemaan det3 - a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3.
Sitten voit tarkistaa, että det2 = –108 ja det3 = –135.
Cramerin kaavojen mukaan löydämme x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.
Vastaus on: x ° = (3,4,5).
Tämän säännön soveltamisedellytysten perusteellaCramer-menetelmää lineaaristen yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseksi voidaan käyttää epäsuorasti esimerkiksi tutkimaan järjestelmää mahdollisten ratkaisumäärien suhteen jonkin parametrin k arvosta riippuen.
Esimerkki 2 Määritä, joille parametrin k arvoille epätasa-arvo | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 sisältää tarkalleen yhden ratkaisun.
Päätös.
Tämä epätasa-arvo moduulin määritelmän perusteellatoiminnot voidaan suorittaa vain, jos molemmat lausekkeet ovat samanaikaisesti nolla. Siksi tämä ongelma vähenee ratkaisun löytämiseen lineaariseen algebraisten yhtälöiden järjestelmään
kx - y = 4,
x + ky = –4.
Ratkaisu tähän järjestelmään on ainoa, jos sen päätekijä
Det = k ^ {2} + 1 on nolla. Tämä ehto täyttyy luonnollisesti kaikilla parametrin k todellisilla arvoilla.
Vastaus on: kaikille parametrin k todellisille arvoille.
Monet käytännön ongelmat matematiikan, fysiikan tai kemian alalta voidaan myös pienentää tällaisiin ongelmiin.
