Una función continua es una funciónsin "saltos", es decir, uno para el que se cumple la condición: pequeños cambios en el argumento son seguidos por pequeños cambios en los valores correspondientes de la función. El gráfico de tal función es una curva suave o continua.
Continuidad en un punto limitante para algunosconjunto puede definirse utilizando el concepto de límite, a saber: la función debe tener un límite en este punto, que es igual a su valor en el punto límite.
Si se violan estas condiciones en algún momento,Dicen que la función en un punto dado sufre una discontinuidad, es decir, su continuidad se rompe. En el lenguaje de los límites, un punto de ruptura puede describirse como una falta de coincidencia entre el valor de una función en el punto de ruptura y el límite de una función (si existe).
El punto de ruptura puede ser desechable, para estoLa existencia de un límite de la función es necesaria, pero no coincide con su valor en un punto dado. En este caso, se puede "corregir" en este punto, es decir, se puede redefinir a la continuidad.
Se desarrolla una imagen completamente diferente si el límite de la función no existe en un punto dado. Hay dos posibles puntos de quiebre:
- del primer tipo: ambos límites unilaterales están presentes y son finitos, y el valor de uno de ellos o de ambos no coincide con el valor de la función en un punto dado;
- del segundo tipo, cuando uno o ambos límites unilaterales no existen, o sus valores son infinitos.
Propiedades de las funciones continuas.
- La función obtenida como resultado de operaciones aritméticas, así como la superposición de funciones continuas en su dominio de definición, también es continua.
- Si se le da una función continua que es positiva en algún momento, siempre puede encontrar una vecindad lo suficientemente pequeña, en la que conserva su signo.
- Del mismo modo, si sus valores en dos puntos A y Bson iguales, respectivamente, a y b, y a es diferente de b, entonces para puntos intermedios tomará todos los valores del intervalo (a; b). De esto se puede sacar una conclusión interesante: si permite que una banda elástica estirada se encoja para que no se hunda (permanezca recta), uno de sus puntos permanecerá inmóvil. Geométricamente, esto significa que hay una línea recta que pasa por cualquier punto intermedio entre A y B, que intersecta la gráfica de la función.
Señalemos algunas de las funciones elementales continuas (en su dominio de definición):
- constante;
- racional;
- trigonométrico.
Entre dos conceptos fundamentales enMatemáticas - continuidad y diferenciabilidad - existe un vínculo inextricable. Basta recordar que para que una función sea diferenciable es necesario que sea una función continua.
Si la función es diferenciable en algún momento, entonces es continua allí. Sin embargo, no es necesario que su derivada sea continua.
Una función que tiene en algún conjuntoderivada continua, pertenece a una clase separada de funciones suaves. En otras palabras, es una función continuamente diferenciable. Si la derivada tiene un número limitado de puntos de discontinuidad (solo del primer tipo), dicha función se llama suavizada por partes.
Otro concepto importante de cálculo.es la continuidad uniforme de una función, es decir, su capacidad de ser igualmente continua en cualquier punto de su dominio de definición. Por lo tanto, esta es una propiedad que se considera en una multitud de puntos, y no en ninguno por separado.
Si arreglas el punto, entonces no obtienes nadaaparte de la definición de continuidad, es decir, a partir de la presencia de continuidad uniforme se deduce que tenemos una función continua. En términos generales, lo contrario no es cierto. Sin embargo, según el teorema de Cantor, si una función es continua en un conjunto compacto, es decir, en un intervalo cerrado, entonces es uniformemente continua en ella.
