Wahrscheinlichkeitsproblem mit Lösung. Wahrscheinlichkeitstheorie für Dummies

Ein Mathematikkurs bereitet die Schüler sehr vorüberraschungen, von denen eine die aufgabe der wahrscheinlichkeitstheorie ist. Mit der Lösung solcher Aufgaben haben Studierende in fast hundert Prozent der Fälle ein Problem. Um dieses Problem zu verstehen und zu verstehen, müssen Sie die Grundregeln, Axiome und Definitionen kennen. Um den Text im Buch zu verstehen, müssen Sie alle Abkürzungen kennen. Das alles bieten wir zum Lernen an.

Wissenschaft und ihre Anwendungen

Da bieten wir einen beschleunigten Kurs "Theorie" anWahrscheinlichkeiten für Dummies, dann müssen Sie zunächst die Grundbegriffe und Buchstabenabkürzungen einführen. Zunächst werden wir das eigentliche Konzept der "Wahrscheinlichkeitstheorie" bestimmen. Was für eine Wissenschaft ist das und warum wird sie benötigt? Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist einer der Bereiche der Mathematik, in denen zufällige Phänomene und Größen untersucht werden. Sie berücksichtigt auch die Gesetze, Eigenschaften und Operationen, die mit diesen Zufallsvariablen ausgeführt werden. Wofür ist es? Die Wissenschaft hat sich in der Erforschung natürlicher Phänomene verbreitet. Irgendwelche natürlichen und physischen Prozesse können nicht ohne das Vorhandensein des Zufalls auskommen. Selbst wenn während des Experiments die Ergebnisse so genau wie möglich aufgezeichnet wurden, ist es sehr wahrscheinlich, dass das Ergebnis bei Wiederholung des gleichen Tests nicht dasselbe ist.

Beispiele für probabilistische Probleme wirDenken Sie daran, Sie können es selbst sehen. Das Ergebnis hängt von vielen verschiedenen Faktoren ab, die kaum zu berücksichtigen oder zu registrieren sind, aber dennoch einen enormen Einfluss auf das Ergebnis des Experiments haben. Lebendige Beispiele sind die Aufgabe, die Flugbahn der Planetenbewegung oder die Wettervorhersage zu bestimmen, die Wahrscheinlichkeit, auf dem Weg zur Arbeit eine vertraute Person zu treffen und die Sprunghöhe des Athleten zu bestimmen. Die Wahrscheinlichkeitstheorie hilft auch Maklern an den Börsen erheblich. Die Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie, mit deren Lösung zuvor viele Probleme aufgetreten waren, wird für Sie nach drei oder vier Beispielen im Folgenden zu einer Kleinigkeit.

Ereignisse

Wie bereits erwähnt, werden naturwissenschaftliche Veranstaltungen untersucht.Wahrscheinlichkeitstheorie, Beispiele zur Problemlösung, wir werden etwas später darauf eingehen, dass nur ein Typ untersucht wird - zufällige. Es ist jedoch wichtig zu wissen, dass es drei Arten von Ereignissen gibt:

• Unmöglich
• Zuverlässig.
• Zufall.

Предлагаем немного оговорить каждый из них.Ein unmögliches Ereignis wird unter keinen Umständen eintreten. Beispiele sind: Gefrieren von Wasser bei positiver Temperatur, Ziehen eines Würfels aus einem Beutel mit Bällen.

Ein zuverlässiges Ereignis passiert immer mit100% Garantie, wenn alle Bedingungen erfüllt sind. Zum Beispiel: Sie haben ein Gehalt für die geleistete Arbeit erhalten, ein Hochschuldiplom erhalten, wenn Sie gewissenhaft studiert, Prüfungen bestanden und Ihr Diplom verteidigt haben und so weiter.

Bei zufälligen Ereignissen sind die Dinge etwas komplizierter: Im Verlauf des Experiments kann es beispielsweise vorkommen, dass ein Ass aus einem Kartenspiel gezogen wird und nicht mehr als drei Versuche unternommen werden. Das Ergebnis kann sowohl beim ersten Versuch als auch im Allgemeinen nicht erhalten werden. Es ist die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses, das die Wissenschaft studiert.

Wahrscheinlichkeit

Im Allgemeinen ist dies eine Einschätzung der Möglichkeit eines erfolgreichendas Ergebnis der Erfahrung, bei der das Ereignis eintritt. Die Wahrscheinlichkeit wird auf qualitativer Ebene bewertet, insbesondere wenn eine Quantifizierung unmöglich oder schwierig ist. Ein Problem in der Wahrscheinlichkeitstheorie mit einer Lösung, genauer gesagt mit einer Schätzung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, impliziert das Finden des sehr möglichen Anteils eines erfolgreichen Ergebnisses. Die Wahrscheinlichkeit in der Mathematik ist ein numerisches Merkmal eines Ereignisses. Es werden Werte von Null bis Eins angenommen, die mit dem Buchstaben P bezeichnet sind. Wenn P gleich Null ist, kann das Ereignis nicht auftreten. Wenn es Eins ist, tritt das Ereignis mit einer hundertprozentigen Wahrscheinlichkeit auf. Je mehr P sich eins nähert, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit eines erfolgreichen Ergebnisses und umgekehrt, wenn es nahe Null ist, tritt das Ereignis mit einer geringen Wahrscheinlichkeit auf.

Abkürzungen

Ein Problem in der Wahrscheinlichkeitstheorie, mit dem Sie bald konfrontiert sein werden, kann die folgenden Abkürzungen enthalten:

• !;
• {};
• N;
• P und P (X);
• A, B, C usw.
• n;
• m.

Einige andere sind ebenfalls möglich:Zusätzliche Erklärungen werden nach Bedarf hinzugefügt. Wir empfehlen zunächst, die oben dargestellten Abkürzungen zu verdeutlichen. Der erste auf unserer Liste ist die Fakultät. Um dies zu verdeutlichen, geben wir Beispiele: 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 oder 3! = 1 * 2 * 3. Ferner werden gegebene Mengen in geschweiften Klammern geschrieben, zum Beispiel: {1; 2; 3; 4; ..; n} oder {10; 140; 400; 562}. Die nächste Bezeichnung ist eine Reihe natürlicher Zahlen, die bei Aufgaben der Wahrscheinlichkeitstheorie durchaus üblich sind. Wie bereits erwähnt, ist P die Wahrscheinlichkeit und P (X) die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Ereignisses X. Ereignisse werden in Großbuchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet, zum Beispiel: A - ein weißer Ball wurde gefangen, B - blau, C - rot bzw. ,,. Der Kleinbuchstabe n ist die Anzahl aller möglichen Ergebnisse und m ist die Anzahl der erfolgreichen. Von hier erhalten wir die Regel zum Finden der klassischen Wahrscheinlichkeit in Elementarproblemen: Р = m / n. Die Wahrscheinlichkeitstheorie "für Dummies" ist wahrscheinlich auf dieses Wissen beschränkt. Zur Konsolidierung wenden wir uns nun der Lösung zu.

Aufgabe 1. Kombinatorik

Die Studentengruppe besteht aus dreißig Personen,aus denen es notwendig ist, den Vorsitzenden, seinen Stellvertreter und den Gewerkschaftsführer zu wählen. Sie müssen eine Reihe von Möglichkeiten finden, um diese Aktion auszuführen. Eine ähnliche Aufgabe findet sich in der Prüfung. Die Wahrscheinlichkeitstheorie, deren Lösung wir jetzt betrachten, kann Probleme aus dem Verlauf der Kombinatorik umfassen, die klassische Wahrscheinlichkeits-, Geometrie- und Probleme für Grundformeln finden. In diesem Beispiel lösen wir eine Aufgabe aus dem Kombinatorikkurs. Fahren wir mit der Lösung fort. Diese Aufgabe ist die einfachste:

1. n1 = 30 - mögliche Leiter der Studentengruppe;
2. n2 = 29 - diejenigen, die das Amt des Stellvertreters übernehmen können;
3. n3 = 28 Personen bewerben sich um eine Gewerkschaftsposition.

Wir müssen nur noch die mögliche Anzahl von Optionen ermitteln, dh alle Indikatoren multiplizieren. Als Ergebnis erhalten wir: 30 * 29 * 28 = 24360.

Dies ist die Antwort auf die gestellte Frage.

Aufgabe 2. Permutation

6 Teilnehmer werden auf der Konferenz sprechen, bestellenbestimmt durch Los. Wir müssen die Anzahl der möglichen Ziehoptionen finden. In diesem Beispiel betrachten wir eine Permutation von sechs Elementen, dh wir müssen 6 finden!

Wir haben bereits im Abkürzungsabschnitt erwähnt, dass diesdies und wie es berechnet wird. Insgesamt stellt sich heraus, dass es 720 Ziehoptionen gibt. Auf den ersten Blick hat eine schwierige Aufgabe eine völlig kurze und einfache Lösung. Dies sind die Aufgaben, die die Wahrscheinlichkeitstheorie berücksichtigt. In den folgenden Beispielen wird untersucht, wie übergeordnete Probleme gelöst werden können.

Problem 3

Eine Gruppe von Studenten von 25 Personenmüssen in drei Untergruppen von sechs, neun und zehn Personen unterteilt werden. Wir haben: n = 25, k = 3, n1 = 6, n2 = 9, n3 = 10. Es bleibt, die Werte in die gewünschte Formel zu setzen, wir erhalten: N25 (6,9,10). Nach einfachen Berechnungen erhalten wir die Antwort - 16 360 143 800. Wenn die Aufgabe nicht besagt, dass eine numerische Lösung erforderlich ist, können Sie diese in Form von Fakultäten angeben.

Problem 4

Drei Leute fragten nach Zahlen von eins bis zehn.Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass jemand die gleichen Zahlen hat. Zuerst müssen wir die Anzahl aller Ergebnisse herausfinden - in unserem Fall sind es tausend, dh zehn nach der dritten Potenz. Jetzt finden wir die Anzahl der Optionen, wenn alle nach unterschiedlichen Zahlen gefragt haben. Dazu multiplizieren wir zehn, neun und acht. Woher kommen diese Zahlen? Der erste denkt an eine Zahl, er hat zehn Optionen, der zweite hat bereits neun und der dritte muss aus den acht verbleibenden Optionen auswählen, sodass wir 720 mögliche Optionen erhalten. Wie wir zuvor berechnet haben, gibt es insgesamt 1000 Varianten und 720 ohne Wiederholungen, daher interessieren uns die verbleibenden 280. Jetzt brauchen wir eine Formel, um die klassische Wahrscheinlichkeit zu finden: P =. Wir haben die Antwort bekommen: 0,28.