Der er flere definitioner af begrebet ”teorital. " En af dem siger, at dette er et specielt afsnit i matematik (eller højere aritmetik), der studerer detaljerede tal og objekter, der ligner dem.
En anden definition præciserer, at dette afsnit i matematik studerer egenskaberne ved tal og deres opførsel i forskellige situationer.
Nogle forskere mener, at teorien er så enorm, at det er umuligt at give en nøjagtig definition, men det er nok at opdele den i flere mindre omfangsrige teorier.
Sæt pålideligt, da teorien blev fødtnumre er ikke mulige. Imidlertid er det blevet præcist fastlagt: i dag er det ældste, men ikke det eneste dokument, der vidner om de antikke interesser i taleteorien, et lille fragment af en lertablet fra 1800 f.Kr. Det indeholder en hel række af de såkaldte Pythagoreiske tripler (naturlige tal), hvoraf mange består af fem tegn. Et stort antal af disse tredobbelt udelukker deres mekaniske valg. Dette indikerer, at interessen for talteori opstod tilsyneladende meget tidligere, end forskere oprindeligt havde antaget.
De mest bemærkelsesværdige mennesker i udviklingen af teorien er Pythagoreans Euclid og Diophantus, indianere fra Ariabhat, Brahmagupta og Bhaskara, der levede i middelalderen, og endnu senere - Fermat, Euler, Lagrange.
I begyndelsen af det 20. århundrede tiltrak taleteori opmærksomheden fra matematiske genier som A. N. Korkin, E. I. Zolotarev, A. A. Markov, B. N. Delone, D. K. Faddeev, I. M. Vinogradov, G. Weil, A. Selberg.
Udvikling og uddybning af beregninger og forskninggamle matematikere, bragte de teorien til et nyt, meget højere niveau, der dækker mange områder. Dybdegående forskning og søgningen efter nye bevis førte til opdagelsen af nye problemer, hvoraf nogle ikke er blevet undersøgt indtil videre. Forbliver åben: Artins hypotese om uendeligheden af det primære sæt, spørgsmålet om uendeligheden af antallet af primater, mange andre teorier.
I dag er de vigtigste komponenter, som taleteorien er opdelt i, teorier: elementær, stort antal, tilfældige tal, analytisk, algebraisk.
Elementary Number Theory studererheltal uden at involvere metoder og koncepter fra andre grene af matematik. Fibonacci-numre, Fermats lille sætning, er de mest udbredte begreber, der endda er kendt for skolebørn fra denne teori.
Teorien om stort antal (eller loven om stort antal) -en del af sandsynlighedsteorien, der søger at bevise, at det aritmetiske middelværdi (med andre ord det empiriske middelværdi) af en stor prøve nærmer sig den matematiske forventning (som også kaldes det teoretiske gennemsnit) af denne prøve under betingelse af en fast fordeling.
Tilfældig talteori, der opdeler alle begivenheder iusikker, deterministisk og tilfældig og forsøger at bestemme sandsynligheden for enkle begivenheder med sandsynligheden for komplekse hændelser. Dette afsnit inkluderer egenskaberne for betingede sandsynligheder og teorem for deres multiplikation, hypotese teorem (som ofte kaldes Bayes-formlen) osv.
Analytisk talteori, som det er klart af hendenavne til undersøgelse af matematiske størrelser og numeriske egenskaber anvender metoderne og teknikkerne til matematisk analyse. En af hovedretningerne i denne teori er beviset på teorem (ved hjælp af kompleks analyse) om distribution af primer.
Algebraisk taleteori fungerer direkte med tal, deres analoger (for eksempel algebraiske tal), studerer teorien om delere, kohomologi af grupper, Dirichlet-funktioner osv.
Århundreder gamle forsøg på at bevise Fermats teorem førte til udseendet og udviklingen af denne teori.
Indtil det tyvende århundrede blev talteorien betragtet som abstraktvidenskab, "ren kunst fra matematik", som absolut ikke har nogen praktisk eller utilitaristisk anvendelse. I dag bruges dens beregninger i kryptografiske protokoller, når man beregner baner for satellitter og rumføler, til programmering. Økonomi, finans, datalogi, geologi - alle disse videnskaber i dag er umulige uden talteori.
