Похідною деякої функції f (x) в конкретнійточці x0 називають межу співвідношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що x прямує до 0, а межа існує. Похідну зазвичай позначають штрихом, іноді за допомогою точки або через диференціал. Нерідко запис є похідним через кордон призводить в оману, так як таке уявлення використовується вкрай рідко.
Функцію, яка має похідну в певнійточці x0, прийнято називати диференційованою в такій точці. Припустимо, D1 - безліч точок, в яких функція f диференційована. Поставивши у відповідність кожному числу число x, що належить D f '(x), отримаємо функцію з областю позначення D1. Ця функція є похідною y = f (x). Її позначають так: f '(x).
Крім того, похідна широко використовується вфізиці і техніці. Розглянемо найпростіший приклад. Матеріальна точка рухається по координатної прямо, при чому заданий закон руху, тобто координатою x цієї точки є відома функція x (t). Протягом інтервалу часу від t0 до t0 + t переміщення точки дорівнює x (t0 + t) -x (t0) = x, а її середня швидкість v (t) дорівнює x / t.
Іноді характер руху представлений так, що прималих відрізках часу середня швидкість не змінюється, мається на увазі те, що рух з більшим ступенем точності вважається рівномірним. Або ж значення середньої швидкості, якщо t0 слід до деякого абсолютно точного значення, яке і називають миттєвою швидкістю v (t0) цієї точки в конкретний момент часу t0. Вважається, що миттєва швидкість v (t) відома для будь-якої диференційованої функції x (t), при чому v (t) дорівнюватиме x '(t). Простіше кажучи, швидкість - це похідна від координати за часом.
Миттєва швидкість має і позитивні, інегативні значення, а також значення 0. Якщо ж вона на деякому інтервалі часу (t1; t2) позитивна, тоді точка рухається в такому ж напрямку, тобто координата x (t) збільшується з часом, а якщо v (t) негативна, тоді координата x (t) зменшується.
У більш складних випадках точка рухається в площині або в просторі. Тоді швидкість - векторна величина і визначає кожну з координат вектора v (t).
Аналогічно можна зіставити з прискореннямруху точки. Швидкість є функцією від часу, тобто v = v (t). А похідна такої функції - прискоренням руху: a = v '(t). Тобто виходить, що похідна від швидкості за часом є прискоренням.
Припустимо y = f (x) - будь-яка диференційованафункція. Тоді можна розглянути рух матеріальної точки по координатної прямої, яке відбувається за законом x = f (t). Механічне зміст похідної дає можливість представити наочну інтерпретацію теорем диференціального обчислення.
Як знайти похідну? Знаходження похідної деякої функції називається її диференціюванням.
Наведемо приклади того, як знайти похідну функцію:
Похідна постійної функції дорівнює нулю; похідна функції y = x дорівнює одиниці.
А як знайти похідну дробу? Для цього розглянемо наступний матеріал:
При будь-якому x0 <> 0 матимемо
y / x = -1 / x0 * (x + x)
Існує кілька правил, як знайти похідну. А саме:
Якщо функції A і B диференційовані в точці x0,то їх сума диференційована в точці: (A + B) '= A' + B '. Простіше кажучи, похідна суми дорівнює сумі похідних. Якщо функція диференційована в деякій точці, тоді її приріст слід до нуля при проходженні до нуля приросту аргументу.
Якщо функції A і B диференційовані в точці x0,то їх твір диференційовано в точці: (A * B) '= A'B + AB'. (Значення функцій і їх похідних розраховуються в точці x0). Якщо функція A (x) диференційована в точці x0, а З - постійна, тоді функція CA диференційована в цій точці і (CA) '= CA'. Тобто, такий постійний множник виноситься за знак похідної.
Якщо функції A і B диференційовані в точці x0, і функція B не дорівнює нулю, то їх співвідношення так же диференційовано в точці: (A / B) '= (A'B-AB') / B * B.
