Дія з звичайними дробами. Спільні дії з звичайними і десятковими дробами

Дробу бувають звичайні і десяткові.Коли школяр дізнається про існування останніх, він починає при кожному зручному випадку переводити все, що можливо, в десятковий вигляд, навіть якщо цього не потрібно.

Як не дивно, у старшокласників і студентівпереваги міняються, тому що простіше виконувати багато арифметичні дії зі звичайними дробами. Та й значення, з якими мають справу випускники, перетворити в десятковий вигляд без втрат часом буває просто неможливо. В результаті обидва види дробів виявляються, так чи інакше, пристосовані до справи і мають свої переваги й недоліки. Подивимося, як з ними працювати.

визначення

Дробу - це ті ж частки.Якщо в апельсині десять часточок, а вам дали одну, то у вас в руці 1/10 частина фрукта. При такому записі, як в попередньому реченні, дріб буде називатися звичайної. Якщо написати те ж саме як 0,1 - десяткової. Обидва варіанти є рівноправними, проте мають свої переваги. Перший варіант зручніше при множенні і діленні, другий - при додаванні, відніманні і в ряді інших випадків.

Як перевести дріб в інший вид

Припустимо, у вас є звичайна дріб, і ви хочете зробити з неї десяткову. що потрібно для цього зробити?

До слова сказати, потрібно заздалегідь визначитися, щоне будь-яке число можна без проблем записати в десятковому вигляді. Іноді доводиться результат округляти, втрачаючи деяку кількість знаків після коми, а в багатьох областях - наприклад, в точних науках - це скоєно недозволена розкіш. У той же час дії з десятковими і звичайними дробами в 5 класі дозволяють здійснювати таке переведення з одного виду в інший без перешкод, хоча б в якості тренування.

Якщо з знаменника шляхом множення або ділення на ціле число можна отримати значення, кратне 10, переклад пройде без будь-яких труднощів: ¾ перетворюється в 0,75, 13/20 - в 0,65.

Зворотна процедура виконується ще простіше, оскільки з десяткового дробу можна завжди отримати звичайну без втрат в точності. Наприклад, 0,2 стає 1/5, а 0,08 - 4/25.

внутрішні перетворення

Перш ніж здійснювати спільні дії зі звичайними дробами, потрібно підготувати числа до можливих математичних операцій.

Насамперед потрібно привести всі наявні вприкладі дроби до одного спільного виду. Вони повинні бути або звичайними, або десятковими. Відразу обмовимося, що множення і ділення зручніше виконувати з першими.

У підготовці чисел до подальших дій вамдопоможе правило, відоме як основну властивість дробу і використовується як в перші роки вивчення предмета, так і у вищій математиці, яку вивчають в університетах.

властивості дробів

Припустимо, у вас є деяке значення.Скажімо, 2/3. Що зміниться, якщо ви помножите чисельник і знаменник на 3? Вийде 6/9. А якщо на мільйон? 2000000/3000000. Але стривайте, адже число якісно абсолютно не змінюється - 2/3 залишаються рівні 2000000/3000000. Змінюється тільки форма, але не зміст. Те ж саме відбудеться при розподілі обох частин на одне і те ж значення. В цьому і полягає основна властивість дробу, яке неодноразово допоможе вам проводити дії з десятковими і звичайними дробами на контрольні й іспити.

Множення чисельника і знаменника на одне і те жчисло називається розширенням дробу, а розподіл - скороченням. Треба сказати, що закреслення однакових чисел у верхній і нижній частині при перемножуванні і розподілі дробів - дивно приємна процедура (в рамках уроку математики, звичайно). Створюється враження, що відповідь вже близький і приклад практично вирішене.

Неправильні дроби

Неправильної дробом називається така, у якій чисельник більше або дорівнює знаменника. Іншими словами, якщо у неї можна виділити цілу частину, вона потрапляє під це визначення.

Якщо таке число (більше або дорівнює одиниці)представлено у вигляді звичайного дробу, вона буде називатися неправильної. А якщо чисельник менше знаменника - правильною. Обидва види однаково зручні при здійсненні можливих дій зі звичайними дробами. Їх можна безперешкодно множити і ділити, додавати і віднімати.

Якщо ж одночасно виділена ціла частина і прицьому є залишок у вигляді дробу, отримане число буде називатися змішаним. У майбутньому ви зіткнетеся з різними способами комбінації таких структур зі змінними, а також рішенням рівнянь, де будуть потрібні ці знання.

арифметичні операції

Якщо з основною властивістю дробу все ясно, то яквести себе при перемножуванні дробів? Дії зі звичайними дробами в 5 класі на увазі всі види арифметичних операцій, які виконуються двома різними способами.

Множення і ділення виконуються дуже просто.У першому випадку просто перемножуються чисельники і знаменники двох дробів. У другому - те ж саме, тільки хрест-навхрест. Таким чином, чисельник першого дробу множиться на знаменник другого, і навпаки.

Для виконання додавання і віднімання потрібнопровести додаткову дію - привести все компоненти вираження до спільного знаменника. Це означає, що нижні частини дробів повинні бути змінені до однакового значення - числа, кратного обом наявним знаменників. Наприклад, для 2 і 5 це буде 10. Для 3 і 6 - 6. Але що тоді робити з верхньою частиною? Ми ж не можемо залишити її в колишньому вигляді, якщо змінили нижню. Відповідно до основного властивості дробу ми помножимо чисельник на той же номер, що і знаменник. Ця операція повинна бути проведена з кожним з чисел, які ми будемо складати або віднімати. Втім, такі дії з звичайними дробами в 6 класі виконуються вже «на автоматі», а труднощі виникають тільки на початковому етапі вивчення теми.

порівняння

Якщо у двох дробів однаковий знаменник, тобільше буде та з них, чисельник якого більше. Якщо ж однакові верхні частини, то більше буде та, у якої менше знаменник. Варто мати на увазі, що настільки вдалі ситуації для порівняння випадають нечасто. Швидше за все, і верхні, і нижні частини виразів не збігатимуться. Тоді знадобиться згадати про можливі дії зі звичайними дробами і використовувати прийом, застосовуваний при додаванні і вирахуванні. Крім того, пам'ятайте, що якщо ми говоримо про негативні числах, то велика по модулю дріб виявиться меншою.

Переваги звичайних дробів

Трапляється, що викладачі говорять дітям однуфразу, зміст якої можна висловити так: чим більше інформації дано при формулюванні завдання, тим простіше буде рішення. Здається, що звучить дивно? Але дійсно: при великій кількості відомих величин можна користуватися практично будь-якими формулами, а ось якщо надана лише пара чисел, можуть знадобитися додаткові роздуми, доведеться згадувати і доводити теореми, наводити аргументи на користь своєї правоти ...

До чого ми це?Та до того, що звичайні дроби при всій своїй громіздкості можуть сильно спростити життя учневі, дозволяючи при перемножуванні і розподілі скорочувати цілі рядки значень, а при розрахунку суми і різниці виносити загальні аргументи і, знову ж таки, скорочувати їх.

Там, де необхідно здійснити спільні дії ззвичайними і десятковими дробами, трансформації здійснюються на користь перших: як ви перекладете 3/17 в десятковий вигляд? Тільки з втратами інформації, не інакше. А ось 0,1 можна представити як 1/10, а далі - як 17/170. І тоді два отриманих числа можна складати або віднімати: 30/170 + 17/170 = 47/170.

Чим корисні десяткові дроби

Якщо дії зі звичайними дробамиздійснювати і зручніше, то записувати все з їх допомогою вкрай незручно, десяткові тут мають суттєву перевагу. Порівняйте: 1748/10000 і 0,1748. Це одне і те ж значення, представлене в двох різних варіантах. Зрозуміло, другий спосіб простіше!

Крім того, десяткові дроби простіше уявити,оскільки всі дані мають загальну підставу, различающееся виключно на порядки. Скажімо, знижку в 30% ми легко розуміємо і навіть оцінимо як значну. А відразу ви зрозумієте, що більше - 30% або 137/379? Таким чином, десяткові дроби забезпечують стандартизацію розрахунків.

У старших класах учні вирішують квадратнірівняння. Виконувати дії зі звичайними дробами тут вже вкрай проблематично, оскільки формула для розрахунку значень змінної містить квадратний корінь з суми. При наявності дробу, що не зводиться до десяткового, рішення ускладнюється настільки, що розрахувати точну відповідь без калькулятора стає практично неможливо.

Отже, кожен спосіб представлення дробів має свої переваги у відповідному контексті.

форми запису

Існує два способи запису дій ззвичайними дробами: через горизонтальну риску, в два «яруси», і через похилу риску (вона ж - «слеш») - в рядок. Коли учень пише в зошиті, перший варіант зазвичай зручніше, а тому і більш поширений. Розподіл поруч цифр по клітинках сприяє розвитку уважності при розрахунках і проведенні перетворень. При записи в рядок можна через неуважність переплутати порядок дій, втратити будь-які дані - тобто, помилитися.

Досить часто в наш час виникаєнеобхідність надрукувати числа на комп'ютері. Розділяти дробу традиційної горизонтальною лінією можна, використовуючи відповідну функцію в режимі «Майкрософт Ворд» 2010 і пізнішого року випуску. Справа в тому, що в цих версіях софта є опція під назвою «формула». Вона виводить на екран прямокутне трансформоване поле, в рамках якого можна комбінувати будь-які математичні символи, складати і дво-, і «чотириповерхові» дробу. У знаменнику і чисельнику можна користуватися дужками, знаками операцій. В результаті ви зможете записати будь-які спільні дії зі звичайними і десятковими дробами в традиційній формі, т. Е. Так, як це вчать робити в школі.

Якщо ж ви будете користуватися стандартним текстовим редактором «Блокнот», то все дробові вирази потрібно буде писати через похилу риску. Іншого способу тут, на жаль, не передбачено.

висновок

Ось ми і розглянули всі основні дії з звичайними дробами, яких, виявляється, не так вже й багато.

Якщо спочатку може здаватися, що це складнийрозділ математики, то це тільки тимчасове враження - пам'ятайте, колись ви так думали про таблицю множення, а ще раніше - про звичайні прописи і рахунок від одного до десяти.

Важливо розуміти, що дроби використовуються вповсякденному житті всюди. Ви будете мати справу з грошима і інженерними розрахунками, інформаційними технологіями та музичної грамотою, і всюди - скрізь! - дробові числа будуть фігурувати. Тому не полінуйтеся і вивчіть цю тему гарненько - тим більше не така вже вона і складна.