Що таке симетрія в математиці? Визначення та приклади

Розуміти, що таке симетрія в математиці,необхідно, щоб в подальшому освоїти базові та просунуті теми алгебри, геометрії. Важливо це і для розуміння креслення, архітектури, правил побудови малюнка. Незважаючи на тісний зв'язок з найточнішою наукою - математикою, симетрія важлива і для артистів, художників, творців, і для тих, хто займається науковою діяльністю, причому в будь-якій області.

Загальна інформація

Не тільки математика, а й природничі науки учому засновані на понятті симетрії. Більш того, воно зустрічається в повсякденному житті, є одним з базових для природи нашого Всесвіту. Розбираючись, що таке симетрія в математиці, необхідно згадати, що існує кілька типів цього явища. Прийнято говорити про такі варіанти:

• Двосторонньому, тобто такий, коли симетрія дзеркальна. Це явище в науковому середовищі прийнято називати «білатеральним».
• Ен-ном порядку.Для цього поняття ключове явище - це кут повороту, який вираховується поділом 360 градусів на деяку задану величину. Крім того, заздалегідь визначається вісь, навколо якої ці повороти відбуваються.
• Падіальная, коли явище симетрії спостерігають,якщо повороти учиняться довільно на деякий випадковий за величиною кут. Ось також вибирається незалежним чином. Для опису такого явища застосовують групу SO (2).
• Сферична.У цьому випадку мова йде про трьох вимірах, в яких об'єкт обертають, вибираючи довільні кути. Виділяють конкретний випадок изотропии, коли явище стає локальним, властивим середовищі або простору.
• Обертальна, що з'єднала в собі дві описані раніше групи.
• Лоренц-інваріативної, коли мають місце довільні обертання. Для цього типу симетрії ключовим поняттям стає «простір-час Маньківського».
• Супер, що визначається як заміна бозонів фермионами.
• Вища, виявляється в ході групового аналізу.
• Трансляційна, коли є зрушення простору, для яких вчені виявляють напрямок, відстань. На основі отриманих даних проводять порівняльний аналіз, що дозволяє виявити симетрію.
• Калібрувальна, яка спостерігається в разі незалежностікалібрувальної теорії при відповідних перетвореннях. Тут особливу увагу звертають на теорію поля, в тому числі фокусуються на ідеях Янга-Міллса.
• Кайно, що належить до класу електроннихконфігурацій. Про те, що являє собою така симетрія, математика (6 клас) уявлення не має, адже це наука вищого порядку. Явище обумовлено вторинної періодичністю. Було відкрито в ході наукової роботи Е. Бірона. Термінологія введена С. Щукарьова.

дзеркальна

Під час навчання в школі учнів практичнозавжди просять зробити роботу «Симетрія навколо нас» (проект з математики). Як правило, її рекомендують до виконання в шостому класі звичайної школи із загальною програмою викладання предметів. Щоб впоратися з проектом, необхідно спершу ознайомитися з поняттям симетрії, зокрема, виявити, що представляє собою дзеркальний тип як один з базових і найбільш зрозумілих для дітей.

Для виявлення явища симетрії розглядаютьконкретну геометричну фігуру, а також вибирають площину. Коли говорять про симетричність даного об'єкту? Спершу на ньому вибирають деяку точку, а потім знаходять для неї відображення. Між ними двома проводять відрізок і обчислюють, під яким кутом до обраної раніше площині він проходить.

Розбираючись, що таке симетрія в математиці,пам'ятайте, що обрана для виявлення цього явища площину буде називатися саме площиною симетрії і ніяк інакше. Проведений відрізок повинен перетинатися з нею під прямим кутом. Відстань від точки до цієї площини і від неї до другої точки відрізка має бути рівним.

нюанси

Про що ще цікавому можна дізнатися, розбираючи такеявище, як симетрія? Математика (6 клас) розповідає, що дві фігури, які вважаються симетричними, зовсім не обов'язково ідентичні один одному. Поняття рівності існує у вузькому і широкому сенсі. Так ось, симетричні об'єкти в вузькому - не одне й те саме.

Який приклад з життя можна привести? Елеметарний!Що скажете щодо наших рукавичок, рукавиць? Ми всі звикли їх носити і знаємо, що втрачати не можна, адже другу таку в пару вже не підібрати, а значить, купувати доведеться обидві заново. А все чому? Тому що парні вироби, хоча і симетричні, але розраховані на ліву і праву руку. Це - типовий приклад дзеркальної симетрії. Що стосується рівності, то такі об'єкти визнають «дзеркально рівними».

А що з центром?

Розглядати центральну симетрію починають звизначення властивостей тіла, стосовно до якого необхідно оцінити явище. Щоб назвати його симетричним, спершу вибирають деяку точку, розташовану по центру. Далі вибирають точку (умовно назвемо її А) і шукають для неї парну (умовно позначимо Е).

При визначенні симетричності точки А і Ез'єднують між собою прямою лінією, захоплюючої центральну точку тіла. Далі вимірюють вийшла пряму. Якщо відрізок від точки А до центра об'єкта дорівнює відрізку, що відокремлює центр від точки Е, можна говорити про те, що знайдений центр симетрії. Центральна симетрія в математиці - одне з ключових понять, що дозволяють далі розвивати теорії геометрії.

А якщо обертаємо?

Розбираючи, що таке симетрія в математиці,не можна випустити з уваги поняття обертального підтипу цього явища. Для того щоб розібратися з термінами, беруть тіло, що має центральну точку, а також визначають ціле число.

В ході експерименту заданий тіло обертають накут, рівний результату ділення 360 градусів на обраний цілий показник. Для цього необхідно знати, що таке вісь симетрії (2 клас, математика, шкільна програма). Ця вісь - пряма, що з'єднує дві обрані точки. Про симетрії обертання можна говорити, якщо при обраному куті повороту тіло буде знаходитися в тому ж положенні, як і до проведення маніпуляцій.

У тому випадку, коли натуральним числом буловибрано 2, і виявлено явище симетрії, кажуть, що визначена осьова симетрія в математиці. Така характерна для ряду фігур. Типовий приклад: трикутник.

Про приклади докладніше

Практика багаторічного викладання математики і геометрії в середній школі показує, що найпростіше з явищем симетрії розібратися, пояснюючи його на конкретних прикладах.

Для початку розглянемо сферу. Для такого тіла одночасно властиві явища симетричності:

• центральній;
• дзеркальної;
• обертальної.

В якості головної вибирають точку, розташовануточно по центру фігури. Щоб підібрати площину, визначають велике коло і немов би «нарізають» його на пласти. Про що говорить математика? Поворот і центральна симетрія в разі кулі - поняття взаємопов'язані, при цьому діаметр фігури служитиме віссю для даного явища.

Ще один наочний приклад - круглий конус.Для цієї фігури властива осьова симетрія. У математиці та архітектури це явище знайшло широке теоретичне і практичне застосування. Зверніть увагу: в якості осі для явища виступає вісь конуса.

Наочно демонструє досліджуване явище прямапризма. Цією фігурі властива дзеркальна симетрія. Площиною вибирають «зріз», паралельний підстав фігури, віддалений від них на рівні проміжки. Створюючи геометричний, нарисної, архітектурний проект (математики симетрія важлива не менше, ніж точним і нарисної наук), пам'ятайте про можливість застосування на практиці і користь при плануванні несучих елементів явища дзеркальності.

А якщо більш цікаві фігури?

Про що нам може розповісти математика (6 клас)?Центральна симетрія є не тільки в такому простому і зрозумілому об'єкті, як куля. Вона властива і більш цікавим і складним фігурам. Наприклад, такий паралелограм. Для такого об'єкта центральною точкою стає та, в якій перетинаються його діагоналі.

А ось якщо розглядати рівнобедрений трапецію,то це буде фігура з осьової симетрією. Виявити її можна в тому випадку, якщо правильно вибрати вісь. Тіло симетрично щодо лінії, перпендикулярної основи і перетинає його рівно посередині.

Симетрія в математиці та архітектури обов'язково враховує ромб. Ця фігура примітна тим, що одночасно поєднує в собі два типи симетричності:

• осьової;
• центральний.

Як вісь необхідно вибрати діагональ об'єкта. У тому місці, де діагоналі ромба перетинаються, розташований його центр симетрії.

Про красу і симетрії

Формуючи проект математики, симетрія дляякого була б ключовою темою, зазвичай в першу чергу згадують мудрі слова великого вченого Вейля: «Симетрія - це ідея, яку довгі століття намагається зрозуміти звичайна людина, адже саме вона створює досконалу красу через унікальний порядок».

Як відомо, інші предмети здаються більшостіпрекрасними, в той час як інші відштовхують, навіть якщо в них немає очевидних вад. Чому так відбувається? Відповідь на це питання показує взаємозв'язок архітектури і математики в симетрії, адже саме це явище і стає основою оцінки предмета як естетично привабливого.

Одна з найкрасивіших жінок на нашій планеті - це супермодель Кисті Тарліктон. Вона впевнена, що до успіху прийшла в першу чергу завдяки унікальному явищу: її губи симетричні.

Як відомо, природа і тяжіє до симетрії, іне може її досягти. Це не загальне правило, але погляньте на оточуючих людей: в людських обличчях практично не знайти абсолютної симетрії, хоча очевидно прагнення до неї. Чим більше симетрично обличчя співрозмовника, тим він здається гарніше.

Як симетрія стала ідеєю про прекрасне

Дивно, що на симетричності заснованосприйняття людиною краси навколишнього його простору і об'єктів в ньому. Довгі століття люди прагнуть зрозуміти, що ж здається прекрасним, а що відштовхує безсторонньо.

Симетричність, пропорції - ось те, що допомагаєвізуально сприймати деякий об'єкт і оцінювати його позитивно. Всі елементи, частини повинні бути збалансовані і перебувати в розумних пропорціях один з одним. Вже давно з'ясували, що асиметричні предмети подобаються людям набагато менше. Все це пов'язують з поняттям «гармонія». Над тим, чому це так важливо для людини, з давніх пір ламали голови мудреці, артисти, художники.

Варто придивитися до геометричних фігур, і явище симетрії стане очевидним і доступним для розуміння. Найбільш типові симетричні явища в навколишньому просторі:

• гірські породи;
• квіти і листя рослин;
• парні зовнішні органи, властиві живим організмам.

Описані явища мають джерелом саму природу.А ось що можна побачити симетричного, придивившись до виробів людських рук? Помітно, що люди тяжіють до створення саме такого, якщо прагнуть зробити щось красиве або функціональне (або і таке, і таке одночасно):

• візерунки та орнаменти, популярні з давніх часів;
• будівельні елементи;
• елементи конструкцій техніки;
• рукоділля.

Про термінології

«Симетрія» - слово, яке прийшло в нашу мову відстародавніх греків, вперше звернули на це явище пильну увагу і спробували вивчити його. Термін позначає наявність деякої системи, а також гармонійне поєднання частин об'єкта. Перекладаючи слово «симетрія», можна підібрати в якості синонімів:

• пропорційність;
• однаковість;
• співмірність.

З давніх пір симетрія є важливим поняттямдля розвитку людства в різних областях і галузях. Народи з давніх-давен мали загальні уявлення про це явище, переважно розглядаючи його в широкому сенсі. Симетрія позначала гармонійність і врівноваженість. У наш час термінологію викладають у звичайній школі. Наприклад, що таке вісь симетрії (2 клас, математика) дітям розповідає вчителька на звичайному занятті.

Як ідея це явище часто стаєпочатковим посилом наукових гіпотез і теорій. Особливо популярно це було в попередні століття, коли по всьому світу панувала ідея математичної гармонії, властивої самій системі світобудови. Знавці тих епох були переконані, що симетричність є прояв божественної гармонії. А ось в Стародавній Греції філософи запевняли, що симетрична весь Всесвіт, і все це базувалося по постулаті: «Симетрія прекрасна».

Великі греки і симетрія

Симетричність розбурхувала уми найвідоміших ученихСтародавній Греції. До наших днів дійшли свідчення того, що Платон закликав окремо захоплюватися правильними многогранниками. На його думку, такі фігури - це уособлення стихій нашого світу. Існувала така класифікація:

Багато в чому саме через цієї теорії прийнято називати правильні багатогранники Платоновим тілами.

А ось термінологію ввели ще раніше, і тут не останню роль зіграв скульптор Поліклет.

Піфагор і симетрія

В період життя Піфагора і в подальшому, колийого вчення переживало свій розквіт, явище симетрії вдалося чітко оформити. Саме тоді симетричність піддалася науковому аналізу, який дав важливі для практичного застосування результати.

Згідно з отриманими висновками:

• Симетрія базується на поняттях пропорцій, одноманітності і рівності. При порушенні того чи іншого поняття фігура стає менш симетричною, поступово переходячи в повністю асиметричну.
• Існує 10 протилежних пар.Згідно з ученням, симетрія є явище, що зводить в єдине протилежності і тим самим формує всесвіт в цілому. Цей постулат довгі століття чинив сильний вплив на ряд наук як точних, так і філософських, а також природних.

Піфагор та його послідовники виділяли «абсолютно симетричні тіла», до яких зараховували задовольняють умовам:

• кожна грань - багатокутник;
• грані зустрічаються в кутах;
• фігура повинна мати рівні сторони і кути.

Саме Піфагор першим сказав, що таких тел існує всього лише п'ять. Це велике відкриття поклало початок геометрії і виключно важливо для сучасної архітектури.

А ви хочете своїми очима побачити самепрекрасне явище симетрії? Піймати взимку сніжинку. Дивно, але факт - це крихітний шматочок падаючого з неба льоду має не тільки вкрай складну кристалічну структуру, але ще і ідеально симетричний. Розгляньте її уважно: сніжинка дійсно прекрасна, а її складні лінії заворожують.