Pochodna pewnej funkcji f(x) w określonympunkt x0 nazywamy granicą stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, pod warunkiem, że x następuje po 0 i granica istnieje. Pochodną zwykle oznacza się liczbą pierwszą, czasem kropką lub różniczką. Pochodna transgraniczna często wprowadza w błąd, ponieważ taka reprezentacja jest rzadko używana.
Funkcja, która ma pochodną przy pewnympunkt x0, zwyczajowo nazywa się różniczkowalnym w takim punkcie. Załóżmy, że D1 jest zbiorem punktów, w których funkcja f jest różnicowana. Przypisując każdej liczbie liczbę x należącą do D f’(x), otrzymujemy funkcję o obszarze zapisu D1. Ta funkcja jest pochodną y = f (x). Jest to oznaczone tak: f '(x).
Ponadto pochodna jest szeroko stosowana wfizyka i technologia. Spójrzmy na najprostszy przykład. Punkt materialny porusza się wzdłuż współrzędnej prostej i dane jest prawo ruchu, czyli współrzędna x tego punktu jest znaną funkcją x (t). W przedziale czasu od t0 do t0 + t przemieszczenie punktu wynosi x (t0 + t) -x (t0) = x, a jego średnia prędkość v (t) wynosi x / t.
Czasami charakter ruchu przedstawiany jest w taki sposób, że kiedyprzez krótkie okresy średnia prędkość się nie zmienia, co oznacza, że ruch z większą dokładnością jest uważany za jednolity. Lub wartość średniej prędkości, jeśli t0 wynika z jakiejś absolutnie dokładnej wartości, którą nazywamy chwilową prędkością v (t0) tego punktu w określonym momencie czasu t0. Uważa się, że prędkość chwilowa v (t) jest znana dla dowolnej zróżnicowanej funkcji x (t), przy czym v (t) będzie równe x ’(t). Mówiąc najprościej, prędkość jest pochodną czasową współrzędnej.
Prędkość chwilowa ma zarówno wartość dodatnią, jak iwartości ujemne, a także wartość 0. Jeśli w pewnym przedziale czasu (t1; t2) jest dodatnia, to punkt porusza się w tym samym kierunku, czyli współrzędna x (t) rośnie z czasem, a jeśli v ( t) jest ujemne, to współrzędna x (t) maleje.
W bardziej złożonych przypadkach punkt porusza się w płaszczyźnie lub w przestrzeni. Wtedy prędkość jest wielkością wektorową i wyznacza każdą ze współrzędnych wektora v (t).
Podobnie można porównać z przyspieszeniemruch punktowy. Prędkość jest funkcją czasu, czyli v = v (t). A pochodną takiej funkcji jest przyspieszenie ruchu: a = v ’(t). Oznacza to, że okazuje się, że pochodną prędkości w czasie jest przyspieszenie.
Załóżmy, że y = f (x) jest dowolne zróżnicowanefunkcjonować. Następnie możesz rozważyć ruch punktu materialnego wzdłuż linii współrzędnych, który występuje za prawem x = f (t). Mechaniczna zawartość pochodnej umożliwia przedstawienie wizualnej interpretacji twierdzeń rachunku różniczkowego.
Jak znaleźć pochodną? Znalezienie pochodnej jakiejś funkcji nazywamy jej różniczkowaniem.
Podajmy przykłady, jak znaleźć funkcję pochodną:
Pochodna funkcji stałej wynosi zero; pochodna funkcji y = x jest równa jeden.
Jak znaleźć pochodną ułamka? Aby to zrobić, rozważ następujący materiał:
Dla dowolnego x0 <> 0 mamy
y / x = -1 / x0 * (x + x)
Istnieje kilka zasad znajdowania pochodnej. Mianowicie:
Jeżeli funkcje A i B są różniczkowane w punkcie x0,następnie ich suma jest różniczkowana w punkcie: (A + B) ’= A’ + B ’. Mówiąc najprościej, pochodna sumy jest równa sumie pochodnych. Jeśli funkcja jest zróżnicowana w pewnym momencie, to jej przyrost następuje do zera, gdy przyrost argumentu następuje do zera.
Jeżeli funkcje A i B są różniczkowane w punkcie x0,to ich iloczyn różniczkuje się w punkcie: (A * B) '= A'B + AB'. (Wartości funkcji i ich pochodnych liczone są w punkcie x0). Jeżeli funkcja A (x) jest różniczkowana w punkcie x0, a C jest stała, to funkcja CA jest różniczkowana w tym punkcie i (CA) '= CA'. Oznacza to, że taki stały czynnik jest usuwany ze znaku pochodnej.
Jeżeli funkcje A i B są różniczkowane w punkcie x0, a funkcja B nie jest równa zero, to ich stosunek różniczkuje się również w punkcie: (A/B) '= (A'B-AB') / B * B.
