Świat jest ułożony w taki sposób, że rozwiązanie dużej liczbyproblemy sprowadza się do znalezienia pierwiastków równania kwadratowego. Korzenie równań są ważne dla opisu różnych wzorów. Wiedzieli o tym nawet geodeci starożytnego Babilonu. Astronomowie i inżynierowie również byli zmuszeni rozwiązywać takie problemy. W VI wieku naszej ery indyjski naukowiec Aryabhata opracował podstawy do znalezienia pierwiastków równania kwadratowego. Formuły nabrały skończonego wyglądu w XIX wieku.
Ogólne pojęcia
Sugerujemy zapoznanie się z podstawowymi prawami równości kwadratowych. Ogólnie rzecz biorąc, równość można zapisać w następujący sposób:
ah2 + bx + c = 0,
Liczba pierwiastków równania kwadratowego może wynosić jeden lub dwa. Szybka analiza może być wykonana przy użyciu pojęcia dyskryminatorów:
D = b2 - 4ac
W zależności od obliczonej wartości otrzymujemy:
- Dla D> 0 istnieją dwa różne pierwiastki. Ogólny wzór na określenie pierwiastków równania kwadratowego wygląda następująco (-b ± √D) / (2a).
- D = 0, w tym przypadku pierwiastek jest jeden i odpowiada wartości x = -b / (2a)
- D <0, nie ma rozwiązania równania na ujemną wartość dyskryminatora.
Uwaga: jeśli dyskryminator jest ujemny, równanie nie ma pierwiastków tylko w zakresie liczb rzeczywistych. Jeśli algebra zostanie rozszerzona do pojęcia pierwiastków zespolonych, to równanie ma rozwiązanie.
Oto łańcuch działań potwierdzających formułę wyszukiwania korzeni.
Z ogólnej postaci równania wynika:
ah2 + bx = -c
Pomnóż prawą i lewą stronę przez 4a i dodaj b2, dostajemy
4a2z2 + 4abx + b2 = -4ac + b2
Przekształć lewą stronę jako wielomian kwadratowy (2ax + b)2... Wyciągnij pierwiastek kwadratowy z obu stron równania 2ax + b = -b ± √ (-4ac + b2), przenosimy współczynnik b na prawą stronę, otrzymujemy:
2ax = -b ± √ (-4ac + b2)
Oznacza to:
x = (-b ± √ (b2 - 4ac))
Co należało pokazać.
Specjalny przypadek
W niektórych przypadkach rozwiązanie problemu można uprościć. Tak więc dla parzystego współczynnika b otrzymujemy prostszy wzór.
Oznaczamy k = 1 / 2b, wówczas wzór ogólnej postaci pierwiastków równania kwadratowego przyjmuje postać:
x = (-k ± √ (k2 - ac)) / a
Dla D = 0 otrzymujemy x = -k / a
Innym szczególnym przypadkiem będzie rozwiązanie równania dla a = 1.
Dla widoku x2 + bx + c = 0 pierwiastki wyniosą x = -k ± √ (k2 - c) gdy dyskryminator jest większy od 0. Dla przypadku, gdy D = 0, pierwiastek będzie wyznaczony prostym wzorem: x = -k.
Korzystanie z wykresów
Każda osoba, nawet o tym nie wiedząc, stale ma do czynienia ze zjawiskami fizycznymi, chemicznymi, biologicznymi, a nawet społecznymi, które dobrze opisuje funkcja kwadratowa.
Uwaga: Krzywa oparta na funkcji kwadratowej nazywana jest parabolą.
Oto kilka przykładów.
- Przy obliczaniu trajektorii pocisku wykorzystuje się właściwość ruchu po paraboli ciała wystrzelonego pod kątem do horyzontu.
- Właściwość paraboli do równomiernego rozłożenia obciążenia jest szeroko stosowana w architekturze.
Rozumiejąc znaczenie funkcji parabolicznej, zastanówmy się, jak używać wykresu do badania jego właściwości za pomocą pojęć „dyskryminacja” i „pierwiastki równania kwadratowego”.
W zależności od wartości współczynników a i b istnieje tylko sześć opcji położenia krzywej:
- Wyróżnik jest pozytywny, aib mają różne znaki. Gałęzie paraboli skierowane w górę, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.
- Dyskryminator i współczynnik b są równe zeru, współczynnik a jest większy od zera. Wykres znajduje się w strefie dodatniej, równanie ma 1 pierwiastek.
- Dyskryminator i wszystkie współczynniki są dodatnie. Równanie kwadratowe nie ma rozwiązania.
- Dyskryminator i współczynnik a są ujemne, b jest większe od zera. Gałęzie wykresu skierowane są w dół, równanie ma dwa pierwiastki.
- Dyskryminator i współczynnik b są równe zeru, współczynnik a jest ujemny. Parabola patrzy w dół, równanie ma jeden pierwiastek.
- Dyskryminator i wszystkie współczynniki są ujemne. Nie ma rozwiązań, wartości funkcji są całkowicie w strefie ujemnej.
Uwaga: opcja a = 0 nie jest brana pod uwagę, ponieważ w tym przypadku parabola przeradza się w linię prostą.
Wszystko to dobrze ilustruje poniższy rysunek.
Przykłady rozwiązywania problemów
Warunek: korzystając z ogólnych właściwości, utwórz równanie kwadratowe, którego pierwiastki są sobie równe.
Rozwiązanie:
według stanu problemu x1 = x2, lub -b + √ (b2 - 4ac) / (2a) = -b + √ (b2 - 4ac) / (2a). Uproszczenie wpisu:
-b + √ (b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √ (b2 - 4ac) / (2a)) = 0, otwórz nawiasy i podaj podobne terminy. Równanie przyjmuje postać 2√ (b2 - 4ac) = 0. To stwierdzenie jest prawdziwe, gdy b2 - 4ac = 0, stąd b2 = 4ac, to do równania podstawia się wartość b = 2√ (ac)
ah2 + 2√ (ac) x + c = 0, w postaci zredukowanej otrzymujemy x2 + 2√ (c / a) x + c = 0.
Odpowiedź:
dla a nie równego 0 i dowolnego c, istnieje tylko jedno rozwiązanie, jeśli b = 2√ (c / a).
Równania kwadratowe dla całej ich prostotymają ogromne znaczenie w obliczeniach inżynierskich. Prawie każdy proces fizyczny można opisać z pewnym przybliżeniem za pomocą funkcji potęgowych rzędu n. Równanie kwadratowe będzie pierwszym takim przybliżeniem.
