Een continue functie is een functiezonder "sprongen", dat wil zeggen, een waarvoor aan de voorwaarde is voldaan: kleine veranderingen in het argument worden gevolgd door kleine veranderingen in de overeenkomstige waarden van de functie. De grafiek van een dergelijke functie is een vloeiende of continue curve.
Continuïteit op een punt dat voor sommigen beperkend isset kan worden gedefinieerd met het concept van een limiet, namelijk: de functie moet op dit punt een limiet hebben die gelijk is aan zijn waarde op het limietpunt.
Als deze voorwaarden op een bepaald moment worden geschonden,ze zeggen dat een functie op een bepaald punt een discontinuïteit lijdt, dat wil zeggen dat de continuïteit wordt verbroken. In de taal van limieten kan een breekpunt worden beschreven als een mismatch tussen de waarde van een functie op het breekpunt en de limiet van een functie (als deze bestaat).
Hiervoor kan het breekpunt wegwerpbaar zijnhet bestaan van een limiet van de functie is noodzakelijk, maar valt niet samen met de waarde ervan op een bepaald punt. In dit geval kan het op dit punt worden "gecorrigeerd", dat wil zeggen dat het opnieuw kan worden gedefinieerd tot het punt van continuïteit.
Een heel ander beeld ontstaat als de limiet van de functie op een gegeven moment niet bestaat. Er zijn twee mogelijke breekpunten:
- van de eerste soort - beide eenzijdige limieten zijn aanwezig en eindig, en de waarde van een ervan of beide valt niet samen met de waarde van de functie op een bepaald punt;
- van de tweede soort, wanneer een of beide eenzijdige limieten niet bestaan of hun waarden oneindig zijn.
Eigenschappen van continue functies
- De functie die wordt verkregen als resultaat van rekenkundige bewerkingen, evenals de superpositie van continue functies op hun definitiedomein, is ook continu.
- Als je op een gegeven moment een continue functie krijgt die positief is, kun je er altijd een voldoende kleine buurt van vinden, waarop het zijn teken behoudt.
- Evenzo, als de waarden op twee punten A en Bzijn respectievelijk gelijk aan a en b, en a is verschillend van b, dan zullen voor tussenliggende punten alle waarden uit het interval (a; b) overnemen. Hieruit kan een interessante conclusie worden getrokken: als je een uitgerekte elastische band laat krimpen zodat deze niet doorhangt (recht blijft), dan blijft een van de punten onbeweeglijk. Geometrisch betekent dit dat er een rechte lijn loopt door een tussenpunt tussen A en B, die de grafiek van de functie doorsnijdt.
Laten we enkele van de continue (in hun domein van definitie) elementaire functies opmerken:
- constante;
- rationeel;
- trigonometrisch.
Tussen twee fundamentele concepten inwiskunde - continuïteit en differentieerbaarheid - er is een onlosmakelijk verband. Het is voldoende om te onthouden dat, wil een functie differentieerbaar zijn, het noodzakelijk is dat het een continue functie is.
Als de functie op een bepaald moment differentieerbaar is, is hij daar continu. Het is echter helemaal niet nodig dat de afgeleide ervan continu is.
Een functie op een setcontinue afgeleide, behoort tot een aparte klasse van gladde functies. Met andere woorden, het is een continu differentieerbare functie. Als de afgeleide een beperkt aantal discontinuïteitspunten heeft (alleen van de eerste soort), dan wordt zo'n functie stuksgewijs afvlakken genoemd.
Een ander belangrijk concept van calculusis de uniforme continuïteit van een functie, dat wil zeggen, zijn vermogen om op elk punt in zijn definitiedomein even continu te zijn. Dit is dus een eigenschap die op veel punten wordt overwogen, en niet op een afzonderlijk punt.
Als je het punt vaststelt, krijg je nietsanders dan de definitie van continuïteit, dat wil zeggen, uit de aanwezigheid van uniforme continuïteit volgt dat we een continue functie hebben. Over het algemeen is het omgekeerde niet waar. Echter, volgens de stelling van Cantor, als een functie continu is op een compacte set, dat wil zeggen op een gesloten interval, dan is hij er uniform continu op.
