Wat is een natuurlijk getal? Geschiedenis, reikwijdte, eigenschappen

Wiskunde onderscheidde zich ongeveer van de algemene filosofiein de 6e eeuw voor Christus e., en vanaf dat moment begon zijn zegevierende mars rond de wereld. Elke ontwikkelingsfase bracht iets nieuws - elementair tellen evolueerde, veranderde in differentiaal- en integraalrekening, eeuwen veranderden, formules werden meer verwarrend en het moment kwam waarop "de meest complexe wiskunde begon - alle getallen verdwenen eruit". Maar wat zat erachter?

Start begonnen

Natuurlijke cijfers verschenen op één lijn met de eerstewiskundige bewerkingen. Een ruggengraat, twee ruggengraat, drie ruggengraat ... Ze zijn verschenen dankzij Indiase wetenschappers die het eerste positienummersysteem hebben afgeleid.

Het woord "positionaliteit" betekent dat de locatieelk cijfer in het nummer is strikt gedefinieerd en komt overeen met zijn categorie. De nummers 784 en 487 zijn bijvoorbeeld dezelfde nummers, maar de nummers zijn niet equivalent, aangezien de eerste 7 honderd bevat, terwijl de tweede slechts 4 bevat. De innovatie van de Indianen werd opgepikt door de Arabieren, die de nummers brachten naar de vorm die we nu kennen.

In de oudheid kregen getallen een mystiekwat betekent dat de grootste wiskundige Pythagoras geloofde dat getal de basis is van de schepping van de wereld, samen met de basiselementen - vuur, water, aarde, lucht. Als we alles alleen vanuit de wiskundige kant bekijken, wat is dan een natuurlijk getal? Het veld met natuurlijke getallen wordt aangeduid als N en is een oneindige reeks gehele getallen en positieve getallen: 1, 2, 3,… + ∞. Nul is uitgesloten. Wordt voornamelijk gebruikt voor het tellen van artikelen en het aangeven van de volgorde.

Wat is een natuurlijk getal in de wiskunde? Peano's axioma's

Het N-veld is de basis waarop elementaire wiskunde is gebaseerd. Na verloop van tijd werden velden van gehele getallen, rationele, complexe getallen onderscheiden.

Werken van de Italiaanse wiskundige Giuseppe Peanomaakte de verdere structurering van rekenkunde mogelijk, bereikte de formaliteit ervan en maakte de weg vrij voor verdere conclusies die verder gingen dan het bereik van het veld N.

Wat een natuurlijk getal is, werd eerder in eenvoudige taal verduidelijkt, hieronder zullen we een wiskundige definitie beschouwen op basis van Peano's axioma's.

• De eenheid wordt als een natuurlijk getal beschouwd.
• Het getal dat volgt op het natuurlijke getal is natuurlijk.
• Er staat geen natuurlijk nummer voor het apparaat.
• Als het getal b zowel het getal c als het getal d volgt, dan is c = d.
• Het inductie-axioma, dat op zijn beurtlaat zien wat een natuurlijk getal is: als een van een parameter afhankelijke uitspraak waar is voor het getal 1, dan gaan we ervan uit dat het werkt voor een getal n uit het veld van natuurlijke getallen N. Dan is de uitspraak ook waar voor n = 1 uit het veld van natuurlijke getallen N ...

Basisbewerkingen op het gebied van natuurlijke getallen

Omdat het veld N de eerste werd voor wiskundigberekeningen, dan is het aan hem dat zowel de definitiedomeinen als de waardenbereiken van een aantal onderstaande bewerkingen behoren. Ze zijn gesloten en niet. Het belangrijkste verschil is dat gesloten operaties gegarandeerd het resultaat binnen de set N houden, ongeacht welke nummers erbij betrokken zijn. Het is voldoende dat ze natuurlijk zijn. De uitkomst van de resterende numerieke interacties is niet langer zo eenduidig ​​en hangt rechtstreeks af van de getallen die bij de uitdrukking zijn betrokken, aangezien dit in tegenspraak kan zijn met de basisdefinitie. Dus gesloten operaties:

• optelling - x + y = z, waarbij x, y, z zijn opgenomen in het veld N;
• vermenigvuldiging - x * y = z, waarbij x, y, z zijn opgenomen in het veld N;
• machtsverheffen - x^y, waarbij x, y zijn opgenomen in het veld N.

De rest van de bewerkingen, waarvan het resultaat mogelijk niet bestaat in de context van de definitie van "wat is een natuurlijk getal", zijn als volgt:

• aftrekken - x - y = z. Het veld met natuurlijke getallen staat het alleen toe als x groter is dan y;
• deling - x / y = z. Het veld met natuurlijke getallen staat het alleen toe als z deelbaar is door y zonder een rest, dat wil zeggen volledig.

Eigenschappen van nummers behorende tot het veld N

Alle verdere wiskundige redeneringen zullen gebaseerd zijn op de volgende eigenschappen, de meest triviale, maar daarom niet minder belangrijke.

• De roerende eigenschap van optellen is x + y = y + x, waarbij de getallen x, y zijn opgenomen in het veld N. Of het bekende "de som verandert niet door de verandering van plaats van de termen".
• De roerende eigenschap van vermenigvuldiging is x * y = y * x, waarbij de getallen x, y zijn opgenomen in het veld N.
• Combinatie-eigenschap van optellen - (x + y) + z = x + (y + z), waarbij x, y, z zijn opgenomen in het veld N.
• Combinatie-eigenschap van vermenigvuldiging - (x * y) * z = x * (y * z), waarbij getallen x, y, z zijn opgenomen in het veld N.
• distributie-eigenschap - x (y + z) = x * y + x * z, waarbij getallen x, y, z zijn opgenomen in veld N.

Pythagoras-tafel

Een van de eerste stappen in de kennis van iedereende structuur van elementaire wiskunde, nadat ze zelf hebben uitgezocht welke getallen natuurlijk worden genoemd, is de pythagorische tabel. Het kan niet alleen vanuit wetenschappelijk oogpunt worden bekeken, maar ook als een waardevol wetenschappelijk monument.

Deze tafel van vermenigvuldiging heeft ondergaantijd, een aantal wijzigingen: nul werd eruit verwijderd en getallen van 1 tot 10 duiden zichzelf aan, zonder rekening te houden met de bestellingen (honderden, duizenden ...). Het is een tabel waarin de titels van rijen en kolommen getallen zijn en de inhoud van de cellen van hun kruispunt gelijk is aan hun product.

In de onderwijspraktijk van de afgelopen decenniaer was een noodzaak om de Pythagoras-tabel "op volgorde" uit het hoofd te leren, dat wil zeggen, eerst was er memorisatie. Vermenigvuldiging met 1 is uitgesloten omdat het resultaat 1 of meer was. Ondertussen zie je met het blote oog in de tabel een patroon: het product van getallen groeit met één stap, wat gelijk is aan de titel van de regel. De tweede factor laat ons dus zien hoe vaak we de eerste moeten nemen om het gewenste product te krijgen. Dit systeem is veel handiger dan het systeem dat in de Middeleeuwen werd toegepast: zelfs als men begrijpt wat een natuurlijk getal is en hoe triviaal het is, slaagden mensen erin om hun dagelijkse telling ingewikkeld te maken door een systeem te gebruiken dat is gebaseerd op machten van twee.

Subset als bakermat van de wiskunde

Op dit moment is het veld van natuurlijke getallen Nalleen beschouwd als een van de subsets van complexe getallen, maar dit maakt ze niet minder waardevol in de wetenschap. Het natuurlijke getal is het eerste dat een kind leert als het zichzelf en de wereld om hem heen bestudeert. Eén vinger, twee vingers ... Dankzij hem ontwikkelt een persoon logisch denken, evenals het vermogen om de oorzaak te achterhalen en het effect af te leiden, waardoor de weg wordt voorbereid voor grote ontdekkingen.