Cos'è la probabilità condizionata e come calcolarla correttamente?

Spesso nella vita ci troviamo di fronte a ciò che è necessariovalutare le possibilità che si verifichi un evento. Che valga la pena acquistare un biglietto della lotteria o meno, quale sarà il sesso del terzo figlio della famiglia, se domani andrà bene o pioverà di nuovo, ci sono innumerevoli esempi di tali esempi. Nel caso più semplice, il numero di esiti favorevoli dovrebbe essere diviso per il numero totale di eventi. Se ci sono 10 biglietti vincenti nella lotteria e ce ne sono 50 in totale, le possibilità di ottenere un premio sono 10/50 = 0,2, cioè 20 contro 100. Ma cosa fare se ci sono più eventi, e sono strettamente correlati? In questo caso, non saremo più interessati alla probabilità semplice, ma condizionata. Che cos'è questo valore e come può essere calcolato: questo sarà esattamente ciò che verrà discusso nel nostro articolo.

Il concetto di

La probabilità condizionale è la possibilità che si verifichiun evento specifico, a condizione che si sia già verificato un altro evento correlato. Facciamo un semplice esempio di lancio di una moneta. Se non c'è ancora stato un pareggio, le possibilità di ottenere testa o croce saranno le stesse. Ma se cinque volte di seguito la moneta cadesse con lo stemma rivolto verso l'alto, allora accetta di aspettarti la 6a, 7a e ancor più la 10a ripetizione di un tale risultato sarebbe illogica. Ogni volta che una testa si alza, le possibilità che appaia una coda crescono e prima o poi verrà fuori.

Formula di probabilità condizionata

Vediamo ora come funziona questo valorecalcolato. Indichiamo il primo evento con B e il secondo con A. Se le possibilità che si verifichi B sono diverse da zero, allora sarà vera la seguente uguaglianza:

P (A | B) = P (AB) / P (B), dove:

• P (A | B) è la probabilità condizionata del risultato A;
• P (AB) - probabilità di accadimento congiunto degli eventi A e B;
• P (B) è la probabilità dell'evento B.

Trasformando leggermente questo rapporto, otteniamo P (AB) = P (A | B) * P (B). E se applichiamo il metodo di induzione, possiamo derivare una formula di prodotto e usarla per un numero arbitrario di eventi:

PAPÀ₁, E₂, E₃,…E_n) = P (A₁| A₂…E_n) * PAPÀ₂| A₃…E_n) * PAPÀ₃| A₄…E_n) ... PAPÀ_n-1| A_n) * PAPÀ_n).

pratica

Per rendere più facile capire comeviene calcolata la probabilità condizionale di un evento, si consideri un paio di esempi. Supponiamo di avere un vaso contenente 8 cioccolatini e 7 cioccolatini alla menta. Hanno le stesse dimensioni e due di essi vengono estratti in modo casuale in sequenza. Quante sono le possibilità che entrambi risultino essere cioccolato? Introduciamo la notazione. Lascia che il totale A significhi che la prima caramella è cioccolato e il totale B - la seconda caramella. Quindi ottieni quanto segue:

P (A) = P (B) = 8/15,

P (A | B) = P (B | A) = 7/14 = 1/2,

P (AB) = 8/15 x 1/2 = 4/15 ≈ 0,27

Consideriamo un altro caso. Supponiamo che ci sia una famiglia di due figli e sappiamo che almeno un bambino è una femmina.

Qual è la probabilità condizionale che hanno i ragazziquesti genitori non sono ancora? Come nel caso precedente, iniziamo con la notazione. Sia P (B) - la probabilità che ci sia almeno una ragazza in famiglia, P (A | B) - la probabilità che anche il secondo figlio sia una femmina, P (AB) - le probabilità che ci siano due ragazze in la famiglia. Ora facciamo i calcoli. In totale, ci possono essere 4 diverse combinazioni del sesso dei bambini e in un solo caso (quando ci sono due ragazzi in famiglia), non ci sarà nessuna ragazza tra i bambini. Pertanto, la probabilità P (B) = 3/4 e P (AB) = 1/4. Quindi seguendo la nostra formula otteniamo:

P (A | B) = 1/4: 3/4 = 1/3.

Puoi interpretare il risultato in questo modo:se non sapessimo il sesso di uno dei bambini, le probabilità di due ragazze sarebbero da 25 a 100. Ma poiché sappiamo che un bambino è una femmina, la probabilità che non ci siano maschi in famiglia sale a una -terzo.