Mentre sono ancora a scuola, tutti gli studenti acquisiscono familiarità con il concetto"Geometria euclidea", le cui disposizioni principali sono incentrate su diversi assiomi basati su elementi geometrici come un punto, un piano, una linea, un movimento. Tutti insieme formano ciò che è noto da tempo con il termine "spazio euclideo".
Spazio euclideo, la cui definizionesi basa sulla posizione sulla moltiplicazione scalare dei vettori, è un caso speciale di uno spazio lineare (affine) che soddisfa una serie di requisiti. Innanzitutto, il prodotto scalare dei vettori è assolutamente simmetrico, cioè un vettore con coordinate (x; y) è quantitativamente identico a un vettore con coordinate (y; x), ma in direzione opposta.
In secondo luogo, nel caso in cuiprodotto scalare di un vettore con se stesso, quindi il risultato di questa azione sarà positivo. L'unica eccezione sarà il caso in cui le coordinate iniziale e finale di questo vettore sono uguali a zero: in questo caso, anche il suo prodotto con se stesso sarà uguale a zero.
Terzo, c'è la distributivitàprodotto scalare, cioè la possibilità di scomporre una delle sue coordinate nella somma di due valori, che non comporterà alcuna variazione nel risultato finale della moltiplicazione scalare dei vettori. Infine, in quarto luogo, quando i vettori vengono moltiplicati per lo stesso numero reale, anche il loro prodotto scalare aumenterà della stessa quantità.
Nel caso in cui tutte queste quattro condizioni siano soddisfatte, possiamo dire con sicurezza che abbiamo lo spazio euclideo.
Da un punto di vista pratico, lo spazio euclideo può essere caratterizzato dai seguenti esempi specifici:
- Il caso più semplice è la presenza di un insieme di vettori con un prodotto scalare definito dalle leggi fondamentali della geometria.
- Lo spazio euclideo sarà ottenuto anche sese per vettori si intende un certo insieme finito di numeri reali con una data formula che descrive la loro somma scalare o prodotto.
- Un caso speciale di spazio euclideo dovrebbe essere riconosciuto come il cosiddetto spazio zero, che si ottiene se la lunghezza scalare di entrambi i vettori è uguale a zero.
Lo spazio euclideo ha un numero diproprietà specifiche. Innanzitutto, il fattore scalare può essere tolto dalle parentesi sia dal primo che dal secondo fattore del prodotto scalare, il risultato non subirà alcuna modifica. In secondo luogo, insieme alla distributività del primo elemento del prodotto scalare, agisce anche la distributività del secondo elemento. Inoltre, oltre alla somma scalare dei vettori, avviene anche la distributività nel caso di sottrazione di vettori. Infine, in terzo luogo, con la moltiplicazione scalare di un vettore per zero, anche il risultato sarà zero.
Quindi, lo spazio euclideo èil concetto geometrico più importante utilizzato nella risoluzione di problemi con la disposizione reciproca di vettori l'uno rispetto all'altro, per la caratterizzazione del quale viene utilizzato un concetto come il prodotto scalare.
