En kontinuerlig funktion er en funktionuden "spring", det vil sige en, som betingelsen er opfyldt: små ændringer i argumentet efterfølges af små ændringer i de tilsvarende værdier for funktionen. Grafen for en sådan funktion er en jævn eller kontinuerlig kurve.
Непрерывность в точке, предельной для некоторого sæt kan defineres ved hjælp af begrebet en grænse, nemlig: funktionen skal have en grænse på dette punkt, der er lig med dens værdi ved grænsepunktet.
Hvis disse betingelser på et tidspunkt overtrædes,de siger, at funktionen på et givet tidspunkt lider af en diskontinuitet, dvs. dens kontinuitet er brudt. På grænsesproget kan et brudspunkt beskrives som et misforhold mellem værdien af en funktion ved brudpunktet og grænsen for en funktion (hvis den findes).
Точка разрыва может быть устранимой, для этого eksistensen af en grænse for funktionen er nødvendig, men ikke sammenfaldende med dens værdi på et givet punkt. I dette tilfælde kan det "korrigeres" på dette tidspunkt, det vil sige, det kan omdefineres til at være kontinuerligt.
Et helt andet billede udvikles, hvis funktionens grænse ikke findes på et givet tidspunkt. Der er to mulige pausepunkter:
- den første slags - begge ensidige grænser er tilgængelige og begrænsede, og værdien af en af dem eller begge falder ikke sammen med værdien af funktionen på et givet punkt
- af den anden art, når den ene eller begge ensidige grænser ikke eksisterer, eller deres værdier er uendelige.
Egenskaber ved kontinuerlige funktioner
- Funktionen opnået som et resultat af aritmetiske operationer såvel som superpositionen af kontinuerlige funktioner på deres definitionsområde er også kontinuerlig.
- Hvis du får en kontinuerlig funktion, der på et tidspunkt er positiv, kan du altid finde et tilstrækkeligt lille kvarter af det, hvorpå det bevarer sit tegn.
- Tilsvarende, hvis dens værdier på to punkter A og Ber henholdsvis lige a og b, og a er forskellig fra b, så for mellemliggende punkter tager det alle værdier fra intervallet (a; b). En interessant konklusion kan drages ud fra dette: Hvis du lader et strakt elastikbånd krympe, så det ikke hænger (forbliver lige), forbliver et af dets punkter ubevægeligt. Geometrisk betyder dette, at der er en lige linje, der passerer gennem ethvert mellemliggende punkt mellem A og B, der skærer grafen for funktionen.
Lad os påpege nogle af de kontinuerlige elementære funktioner (inden for deres definition):
- konstant;
- rationel;
- trigonometrisk.
Между двумя фундаментальными понятиями в matematik - kontinuitet og differentierbarhed - der er et uløseligt link. Det er kun nok at huske, at for at en funktion kan differentieres, er det nødvendigt, at det er en kontinuerlig funktion.
Hvis funktionen på et tidspunkt kan differentieres, er den kontinuerlig der. Det er imidlertid slet ikke nødvendigt, at dets derivat er kontinuerligt.
En funktion, der har på et sætkontinuerligt derivat, hører til en separat klasse af glatte funktioner. Med andre ord er det en kontinuerlig differentierbar funktion. Hvis derivatet har et begrænset antal diskontinuitetspunkter (kun af den første art), kaldes en sådan funktion stykkevis glat.
Et andet vigtigt begreb med beregningener en ensartet kontinuitet i en funktion, det vil sige dens evne til at være lige kontinuerlig på ethvert tidspunkt i sit definitionsområde. Dette er således en egenskab, der betragtes som en række punkter og ikke på nogen separat.
Hvis du løser punktet, får du intetbortset fra definitionen af kontinuitet, det vil sige fra tilstedeværelsen af ensartet kontinuitet følger det, at vi har en kontinuerlig funktion. Generelt er det omvendte ikke sandt. I henhold til Cantors teorem, hvis en funktion er kontinuerlig på et kompakt sæt, det vil sige på et lukket interval, så er det ensartet kontinuerligt på det.
