مشتق من بعض الوظائف f (x) في محددتسمى النقطة x0 حد نسبة زيادة الوظيفة إلى زيادة الوسيطة ، بشرط أن تتبع x إلى 0 ، وأن تكون الحدود موجودة. عادةً ما يُرمز إلى المشتق برقم أولي ، أحيانًا بنقطة أو من خلال تفاضل. غالبًا ما تكون المشتقات عبر الحدود مضللة لأن مثل هذا التمثيل نادرًا ما يستخدم.
دالة لها مشتق عند نقطة معينةالنقطة x0 ، تسمى عادةً قابلة للتفاضل في مثل هذه النقطة. افترض أن D1 هي مجموعة النقاط التي يتم عندها تمييز الوظيفة f. بتخصيص الرقم x الذي ينتمي إلى D f '(x) لكل رقم ، نحصل على دالة بمنطقة الترميز D1. هذه الوظيفة هي المشتق y = f (x). يتم تعيينه على النحو التالي: f '(x).
علاوة على ذلك ، يتم استخدام المشتق على نطاق واسع فيالفيزياء والتكنولوجيا. لنلق نظرة على أبسط مثال. تتحرك نقطة المادة على طول الإحداثيات بشكل مستقيم ، ويتم إعطاء قانون الحركة ، أي أن إحداثي x لهذه النقطة هو الوظيفة المعروفة x (t). خلال الفترة الزمنية من t0 إلى t0 + t ، تكون إزاحة النقطة هي x (t0 + t) -x (t0) = x ، ومتوسط سرعتها v (t) هو x / t.
في بعض الأحيان يتم تقديم طبيعة الحركة بهذه الطريقة فيلفترات زمنية قصيرة ، لا يتغير متوسط السرعة ، مما يعني أن الحركة بدرجة أكبر من الدقة تعتبر موحدة. أو قيمة متوسط السرعة ، إذا كانت t0 تتبع بعض القيمة الدقيقة تمامًا ، والتي تسمى السرعة اللحظية v (t0) لهذه النقطة في لحظة معينة من الزمن t0. يُعتقد أن السرعة اللحظية v (t) معروفة لأي دالة متباينة x (t) ، حيث v (t) ستكون مساوية لـ x '(t). ببساطة ، السرعة هي مشتق التوقيت للإحداثيات.
السرعة اللحظية موجبة والقيم السالبة ، وكذلك القيمة 0. إذا كانت موجبة في فترة زمنية معينة (t1 ؛ t2) ، فإن النقطة تتحرك في نفس الاتجاه ، أي أن الإحداثي x (t) يزداد بمرور الوقت ، وإذا كانت v (t) سالبة ، ينخفض تنسيق x (t).
في الحالات الأكثر صعوبة ، تتحرك النقطة في مستوى أو في الفضاء. ثم تكون السرعة عبارة عن كمية متجهة وتحدد كل من إحداثيات المتجه v (t).
وبالمثل يمكن مقارنتها مع التسارعحركة النقطة. السرعة هي دالة زمنية ، أي v = v (t). ومشتق هذه الوظيفة هو تسارع الحركة: a = v '(t). بمعنى ، اتضح أن مشتق السرعة الزمني هو التسارع.
افترض أن y = f (x) متباينةوظيفة. ثم يمكنك التفكير في حركة نقطة مادية على طول خط إحداثيات ، والذي يحدث خلف القانون x = f (t). يجعل المحتوى الميكانيكي للمشتق من الممكن تقديم تفسير مرئي لنظريات حساب التفاضل.
كيف تجد المشتق؟ إن إيجاد مشتق لبعض الوظائف يسمى تفاضلها.
فيما يلي بعض الأمثلة عن كيفية العثور على الوظيفة المشتقة:
مشتق دالة ثابتة هو صفر ؛ مشتق الدالة y = x يساوي واحدًا.
كيف تجد مشتق كسر؟ للقيام بذلك ، ضع في اعتبارك المواد التالية:
لأي x0 <> 0 ، لدينا
ص / س = -1 / س 0 * (س + س)
هناك عدة قواعد لإيجاد المشتق. يسمى:
إذا تم التفريق بين الدالتين A و B عند النقطة x0 ،ثم يتم التفريق بين مجموعهم عند النقطة: (أ + ب) "= أ" + ب ". ببساطة ، مشتق المجموع يساوي مجموع المشتقات. إذا تم تمييز الدالة عند نقطة ما ، فإن الزيادة تتبع إلى الصفر عندما تتبع زيادة الوسيطة الصفر.
إذا تم التفريق بين الدالتين A و B عند النقطة x0 ،ثم يتم تمييز منتجهم عند النقطة: (A * B) '= A'B + AB'. (يتم حساب قيم الدوال ومشتقاتها عند النقطة x0). إذا تم تمييز الدالة A (x) عند النقطة x0 ، وكانت C ثابتة ، فسيتم تمييز الدالة CA عند هذه النقطة و (CA) '= CA'. بمعنى ، يتم إخراج هذا العامل الثابت من علامة المشتق.
إذا تم التفريق بين الدالتين A و B عند النقطة x0 ، وكانت الوظيفة B لا تساوي الصفر ، فسيتم تمييز نسبتهما أيضًا عند النقطة: (A / B) '= (A'B-AB') / B * B.
