Georg Cantor: ทฤษฎีเซต ชีวประวัติ และนักคณิตศาสตร์ครอบครัว

Georg Cantor (ภาพจะได้รับภายหลังในบทความ) -นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ผู้สร้างทฤษฎีเซต และแนะนำแนวคิดเรื่องจำนวนทรานฟินิตี้ ที่ใหญ่โตอย่างไม่มีขอบเขต แต่มีความแตกต่างกัน เขายังกำหนดเลขลำดับและเลขสำคัญและสร้างเลขคณิต

Georg Cantor: ชีวประวัติสั้น

เกิดที่เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก 03.03.1845พ่อของเขาเป็นศาสนาโปรเตสแตนต์ชาวเดนมาร์กชื่อ Georg-Waldemar Kantor ซึ่งเกี่ยวข้องกับการค้าขาย รวมทั้งในตลาดหลักทรัพย์ Maria Boehm แม่ของเขาเป็นชาวคาทอลิกและมาจากครอบครัวนักดนตรีที่มีชื่อเสียง เมื่อบิดาของจอร์จล้มป่วยในปี พ.ศ. 2399 ครอบครัวจึงย้ายไปค้นหาสภาพอากาศที่ร้อนกว่า โดยไปที่วีสบาเดินก่อนแล้วจึงไปแฟรงค์เฟิร์ต ความสามารถทางคณิตศาสตร์ของเด็กชายปรากฏตัวขึ้นก่อนวันเกิดอายุ 15 ปีของเขาขณะศึกษาในโรงเรียนเอกชนและโรงยิมในดาร์มสตัดท์และวีสบาเดิน ในท้ายที่สุด Georg Cantor โน้มน้าวให้พ่อของเขาเชื่อมั่นในการเป็นนักคณิตศาสตร์ ไม่ใช่วิศวกร

หลังจากการศึกษาระยะสั้นที่มหาวิทยาลัยซูริกในปี พ.ศ. 2406 คันทอร์ก็ย้ายไปเรียนที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลินเพื่อศึกษาฟิสิกส์ ปรัชญาและคณิตศาสตร์ ที่นั่นเขาได้รับการสอนว่า:

• Karl Theodor Weierstrass ซึ่งเชี่ยวชาญด้านการวิเคราะห์น่าจะมีอิทธิพลมากที่สุดต่อ Georg;
• Ernst Eduard Kummer ผู้สอนวิชาคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น
• Leopold Kronecker นักทฤษฎีตัวเลขซึ่งต่อมาต่อต้านต้นเสียง

หลังจากใช้เวลาหนึ่งภาคการศึกษาที่มหาวิทยาลัย Göttingen ใน2409 ในปีต่อมา เกออร์กเขียนวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของเขาในหัวข้อ "ในวิชาคณิตศาสตร์ ศิลปะแห่งการถามคำถามมีค่ามากกว่าการแก้ปัญหา" เกี่ยวกับปัญหาที่คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ไม่แก้ใน Disquisitiones Arithmeticae (1801) หลังจากสอนที่โรงเรียนสตรีเบอร์ลินเป็นเวลาสั้น ๆ คันทอร์ก็เริ่มทำงานที่มหาวิทยาลัยฮัลเลอ ซึ่งเขาอาศัยอยู่จนตลอดชีวิต อันดับแรกในฐานะอาจารย์ ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2415 เป็นผู้ช่วยศาสตราจารย์ และตั้งแต่ปี พ.ศ. 2422 เป็นศาสตราจารย์

วิจัย

ในตอนต้นของชุดผลงาน 10 ชิ้นตั้งแต่ปี พ.ศ. 2412 ถึง พ.ศ. 2416Georg Cantor พิจารณาทฤษฎีจำนวน งานนี้สะท้อนถึงความหลงใหลในเรื่องนี้ การศึกษาเกี่ยวกับเกาส์ และอิทธิพลของโครเนคเกอร์ ตามคำแนะนำของ Heinrich Eduard Heine เพื่อนร่วมงานของ Cantor ใน Halle ซึ่งรู้จักความสามารถทางคณิตศาสตร์ของเขา เขาจึงหันไปใช้ทฤษฎีอนุกรมตรีโกณมิติ ซึ่งเขาได้ขยายแนวคิดเรื่องจำนวนจริง

เริ่มจากการทำงานเกี่ยวกับหน้าที่ของคอมเพล็กซ์ตัวแปรของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Bernhard Riemann ในปี พ.ศ. 2397 ในปี พ.ศ. 2413 คันทอร์แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันดังกล่าวสามารถแสดงได้ทางเดียวเท่านั้น - อนุกรมตรีโกณมิติ การพิจารณาชุดของตัวเลข (จุด) ที่จะไม่ขัดแย้งกับมุมมองดังกล่าว ประการแรก ในปี พ.ศ. 2415 เขาได้กำหนดนิยามของจำนวนอตรรกยะในแง่ของการบรรจบกันของจำนวนตรรกยะ (เศษส่วนของจำนวนเต็ม) แล้วจึงเริ่มงานต่อไป งานทั้งชีวิตของเขา ทฤษฎีเซต และแนวคิดของจำนวนเชิงซ้อน

ทฤษฎีเซต

Georg Cantor ซึ่งเกิดทฤษฎีเซตในการติดต่อกับนักคณิตศาสตร์ของสถาบันเทคนิคแห่ง Braunschweig Richard Dedekind เป็นเพื่อนกับเขาตั้งแต่วัยเด็ก พวกเขาได้ข้อสรุปว่าเซต ที่จำกัดหรืออนันต์ เป็นชุดขององค์ประกอบ (เช่น ตัวเลข {0, ± 1, ± 2...}) ที่มีคุณสมบัติบางอย่างในขณะที่ยังคงความเป็นตัวของตัวเองไว้ แต่เมื่อ Georg Cantor ใช้การติดต่อสื่อสารแบบหนึ่งต่อหนึ่งเพื่อศึกษาลักษณะเฉพาะของพวกเขา (เช่น {A, B, C} ถึง {1, 2, 3}) เขาตระหนักได้อย่างรวดเร็วว่าระดับความเป็นเจ้าของต่างกันไป ถ้ามันเป็นเซตอนันต์ นั่นคือ เซต ส่วนหนึ่งหรือเซตย่อยที่มีอ็อบเจกต์มากเท่าตัวมันเอง วิธีการของเขาในไม่ช้าก็ให้ผลลัพธ์ที่น่าอัศจรรย์

ในปี 1873 Georg Cantor (นักคณิตศาสตร์) ได้แสดงให้เห็นว่าจำนวนตรรกยะถึงแม้อนันต์ก็สามารถนับได้ เพราะสามารถนำมาเรียงต่อกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับจำนวนธรรมชาติได้ (เช่น 1, 2, 3 เป็นต้น) เขาแสดงให้เห็นว่าเซตของจำนวนจริงซึ่งประกอบด้วยอตรรกยะและตรรกยะ เป็นอนันต์และนับไม่ได้ ที่ขัดแย้งกันมากกว่านั้น ต้นเสียงได้พิสูจน์ว่าเซตของตัวเลขพีชคณิตทั้งหมดประกอบด้วยองค์ประกอบมากเท่ากับเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด และจำนวนเหนือธรรมชาติที่ไม่ใช่พีชคณิตซึ่งเป็นเซตย่อยของจำนวนอตรรกยะนั้นนับไม่ได้และด้วยเหตุนี้ จำนวนของพวกมันจึงมากกว่า กว่าจำนวนเต็ม และควรถือเป็นอนันต์

ฝ่ายตรงข้ามและผู้สนับสนุน

แต่งานของคันทอร์ที่เขาหยิบยกขึ้นมาก่อนผลลัพธ์เหล่านี้ไม่ได้ตีพิมพ์ในวารสาร Krell เนื่องจาก Kronecker หนึ่งในนักวิจารณ์ถูกคัดค้านอย่างรุนแรง แต่หลังจากการแทรกแซงของ Dedekind มันถูกตีพิมพ์ในปี 1874 ภายใต้ชื่อ "On the Characteristic Properties of All Real Algebraic Numbers"

วิทยาศาสตร์และชีวิตส่วนตัว

ในปีเดียวกัน ระหว่างช่วงน้ำผึ้งเดือนกับ Wally Gutmann ภรรยาของเขาในเมือง Interlaken ประเทศสวิสเซอร์แลนด์ Kantor ได้พบกับ Dedekind ซึ่งพูดถึงทฤษฎีใหม่ของเขาเป็นอย่างดี เงินเดือนของจอร์จมีน้อย แต่ด้วยเงินของบิดาซึ่งเสียชีวิตในปี 2406 เขาจึงสร้างบ้านให้ภรรยาและลูกห้าคน ผลงานหลายชิ้นของเขาได้รับการตีพิมพ์ในสวีเดนในวารสาร Acta Mathematica ฉบับใหม่ ซึ่งแก้ไขและก่อตั้งโดย Gesta Mittag-Leffler ซึ่งเป็นคนกลุ่มแรกที่รู้จักพรสวรรค์ของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน

การเชื่อมต่อกับอภิปรัชญา

ทฤษฎีของต้นเสียงกลายเป็นเรื่องใหม่โดยสิ้นเชิง completelyการวิจัยที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ของอนันต์ (เช่น ชุดที่ 1, 2, 3 ฯลฯ และชุดที่ซับซ้อนมากขึ้น) ซึ่งส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่ง การพัฒนาวิธีการใหม่ในการตั้งคำถามเกี่ยวกับความต่อเนื่องและความไม่มีที่สิ้นสุดของคันทอร์ทำให้งานวิจัยของเขาคลุมเครือ

เมื่อเขาเถียงว่าจำนวนอนันต์มีจริงดำรงอยู่ เขาหันไปหาปรัชญาโบราณและยุคกลางที่สัมพันธ์กับความเป็นอนันต์ที่แท้จริงและศักยภาพ เช่นเดียวกับการศึกษาศาสนาในยุคแรกๆ ที่พ่อแม่มอบให้เขา ในปี 1883 ในหนังสือ Fundamentals of General Set Theory ของเขา Cantor ได้รวมแนวคิดของเขาเข้ากับอภิปรัชญาของเพลโต

Kronecker ที่อ้างว่า "มีอยู่"เฉพาะจำนวนเต็ม ("พระเจ้าสร้างจำนวนเต็ม ส่วนที่เหลือเป็นงานของมนุษย์") เป็นเวลาหลายปีที่ปฏิเสธเหตุผลของเขาอย่างแรงกล้าและขัดขวางการแต่งตั้งของเขาที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน

ตัวเลขอนันต์

ในปี พ.ศ. 2438-2540Georg Cantor ได้สร้างแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องและอนันต์อย่างสมบูรณ์ ซึ่งรวมถึงเลขลำดับและจำนวนนับอนันต์ ในงานที่มีชื่อเสียงที่สุดของเขา ตีพิมพ์ภายใต้ชื่อ "การมีส่วนร่วมในการสร้างทฤษฎีของจำนวนทรานฟิก" (ค.ศ. 1915) บทความนี้ประกอบด้วยแนวคิดของเขา ซึ่งเขานำโดยการสาธิตว่าชุดอนันต์สามารถใส่ในการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับชุดย่อยชุดใดชุดหนึ่งได้

ภายใต้จำนวนคาร์ดินัลทรานสิจที่เล็กที่สุดเขาหมายถึงคาร์ดินาลิตี้ของเซตใด ๆ ที่สามารถใส่ในการติดต่อแบบตัวต่อตัวกับตัวเลขธรรมชาติ ต้นเสียงเรียกมันว่า aleph-zero เซตทรานสฟินิทขนาดใหญ่เขียนแทน aleph-one, aleph-two ฯลฯ เขาได้พัฒนาเลขคณิตของจำนวนทรานสิกต์เพิ่มเติม ซึ่งคล้ายกับเลขคณิตจำกัด ดังนั้นเขาจึงเสริมแนวคิดเรื่องอินฟินิตี้

การต่อต้านที่เขาเผชิญและเวลาที่ความคิดของเขาต้องได้รับการยอมรับอย่างเต็มที่นั้นเกิดจากความยากลำบากในการประเมินคำถามโบราณว่าจำนวนคืออะไร ต้นเสียงแสดงให้เห็นว่าชุดของจุดบนเส้นมีกำลังที่สูงกว่าระดับศูนย์ สิ่งนี้นำไปสู่ปัญหาที่รู้จักกันดีของสมมติฐานคอนตินิวอัม - ไม่มีคาร์ดินัลระหว่าง aleph zero และคาร์ดินาลิตี้ของจุดบนเส้น ปัญหานี้กระตุ้นความสนใจอย่างมากในช่วงครึ่งแรกและครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20 และได้รับการศึกษาโดยนักคณิตศาสตร์หลายคน รวมทั้งเคิร์ต โกเดลและพอล โคเฮน

อาการซึมเศร้า

ชีวประวัติของ Georg Cantor ตั้งแต่ พ.ศ. 2427ถูกบดบังด้วยอาการป่วยทางจิต แต่เขายังคงทำงานอย่างแข็งขัน ในปี พ.ศ. 2440 เขาช่วยจัดการประชุมทางคณิตศาสตร์ระดับนานาชาติครั้งแรกในเมืองซูริก ส่วนหนึ่งเป็นเพราะเขาถูกต่อต้านจากโครเนคเกอร์ เขามักจะเห็นอกเห็นใจนักคณิตศาสตร์รุ่นใหม่และพยายามหาวิธีที่จะปลดปล่อยพวกเขาจากการกดขี่จากครูที่รู้สึกว่าถูกคุกคามด้วยแนวคิดใหม่ๆ

ได้รับการยอมรับ

ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษ งานของเขาสมบูรณ์ได้รับการยอมรับว่าเป็นพื้นฐานสำหรับทฤษฎีฟังก์ชัน การวิเคราะห์ และโทโพโลยี นอกจากนี้ หนังสือของ Cantor Georg ยังทำหน้าที่เป็นแรงผลักดันสำหรับการพัฒนาต่อไปของโรงเรียนที่เป็นธรรมชาติและเป็นทางการของรากฐานทางตรรกะของคณิตศาสตร์ สิ่งนี้ได้เปลี่ยนระบบการสอนอย่างมีนัยสำคัญและมักเกี่ยวข้องกับ "คณิตศาสตร์ใหม่"

ในปี พ.ศ. 2454 ก.Kantor เป็นหนึ่งในผู้ที่ได้รับเชิญให้เฉลิมฉลองครบรอบ 500 ปีของมหาวิทยาลัย St Andrews ในสกอตแลนด์ เขาไปที่นั่นโดยหวังว่าจะได้พบกับเบอร์ทรานด์ รัสเซลล์ ซึ่งในผลงานตีพิมพ์เมื่อเร็วๆ นี้ของเขา Principia Mathematica ได้อ้างอิงถึงนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันซ้ำแล้วซ้ำเล่า แต่สิ่งนี้ไม่เกิดขึ้น มหาวิทยาลัยได้รับปริญญากิตติมศักดิ์ของ Kantor แต่เนื่องจากอาการป่วย เขาจึงไม่สามารถรับรางวัลด้วยตนเองได้

คันเตอร์เกษียณในปี พ.ศ. 2456อาศัยอยู่ในความยากจนและอดอยากในช่วงสงครามโลกครั้งที่หนึ่ง การเฉลิมฉลองเพื่อเป็นเกียรติแก่วันเกิดครบรอบ 70 ปีของเขาในปี 2458 ถูกยกเลิกเนื่องจากสงคราม แต่มีพิธีเล็ก ๆ เกิดขึ้นที่บ้านของเขา เขาเสียชีวิตเมื่อวันที่ 06.01.1918 ใน Halle ในโรงพยาบาลจิตเวชซึ่งเขาใช้เวลาหลายปีสุดท้ายของชีวิต

Georg Cantor: ชีวประวัติ ครอบครัว

9 สิงหาคม พ.ศ. 2417นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันแต่งงานกับ Wally Gutmann ทั้งคู่มีลูกชาย 4 คนและลูกสาว 2 คน ลูกคนสุดท้องเกิดในปี พ.ศ. 2429 ในบ้านหลังใหม่ที่ Kantor ได้มา มรดกของบิดาช่วยให้เขาเลี้ยงดูครอบครัวได้ การเสียชีวิตของลูกชายคนสุดท้องในปี พ.ศ. 2442 ส่งผลกระทบต่อสุขภาพของคันทอร์อย่างมาก ตั้งแต่นั้นมาเขาก็ไม่ทิ้งภาวะซึมเศร้า