Den enkla iterationsmetoden, även kalladsuccessiv approximation är en matematisk algoritm för att hitta värdet av en okänd storhet genom att gradvis förfina den. Kärnan i denna metod är att, som namnet antyder, gradvis uttrycka efterföljande från den initiala approximationen, erhålls fler och mer förfinade resultat. Denna metod används för att hitta värdet på en variabel i en given funktion, samt när man löser ekvationssystem, både linjära och olinjära.
Låt oss överväga hur denna metod implementeras när vi löser SLAE. Den enkla iterationsmetoden har följande algoritm:
1.Kontrollera att konvergensvillkoret i den ursprungliga matrisen är uppfyllt. Konvergenssats: om systemets ursprungliga matris har diagonal dominans (dvs. i varje rad måste elementen i huvuddiagonalen vara större i absolut värde än summan av elementen i de sekundära diagonalerna i absolut värde), då den enkla iterationsmetoden är konvergent.
2.Det ursprungliga systemets matris har inte alltid diagonal dominans. I sådana fall kan systemet konverteras. Ekvationer som uppfyller konvergensvillkoret lämnas orörda, och linjära kombinationer görs med de som inte gör det, dvs. multiplicera, subtrahera, addera ekvationer till varandra tills önskat resultat erhålls.
Om det i det resulterande systemet finns obekväma koefficienter på huvuddiagonalen, då termer av formen medoch*xjag, vars tecken måste sammanfalla med de diagonala elementens tecken.
3. Transformation av det resulterande systemet till normal form:
med-=p-+a*x-
Detta kan göras på många sätt, till exempel: från den första ekvationen, uttryck x1 genom andra okända, från den andra2, från den tredje3 etc. I det här fallet använder vi formlerna:
aI j= -(aI j /aii)
och= boch/ochii
Du bör återigen se till att det resulterande systemet med normal form uppfyller konvergensvillkoret:
∑ (j=1) |aI j|≤ 1, medan i= 1,2,...n
4. Vi börjar faktiskt tillämpa själva metoden för successiva approximationer.
med(0)- initial approximation, låt oss uttrycka x genom den(1), sedan genom x(1) låt oss uttrycka x(2). Den allmänna formeln i matrisform ser ut så här:
med(n)= β-+a*x(n-1)
Vi beräknar tills vi uppnår önskad noggrannhet:
max |xoch(k)-xoch(k+1) ≤ e
Så låt oss omsätta den enkla iterationsmetoden i praktiken. Exempel:
Lös SLAE:
4,5x1-1,7x2+3,5x3=2
3,1x1+2,3x2-1,1x3=1
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4 med noggrannhet ε=10-3
Låt oss se om diagonala element dominerar i modul.
Vi ser att endast den tredje ekvationen uppfyller konvergensvillkoret. Låt oss omvandla den första och den andra och lägga till den andra till den första ekvationen:
7,6x1+0,6x2+2,4x3=3
Från den tredje subtraherar vi den första:
-2,7x1+4,2x2+1,2x3=2
Vi konverterade det ursprungliga systemet till ett motsvarande:
7,6x1+0,6x2+2,4x3=3
-2,7x1+4,2x2+1,2x3=2
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4
Låt oss nu föra systemet till sin normala form:
x1=0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2=0,4762+0,6429x1-0,2857x3
x3= 0,8511-0,383x1-0,5319x2
Vi kontrollerar konvergensen av den iterativa processen:
0,0789+0,3158=0,3947 ≤ 1
0,6429+0,2857=0,9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319= 0,9149 ≤ 1, dvs. villkoret är uppfyllt.
0,3947
Initial approximation x(0) = 0,4762
0,8511
Genom att ersätta dessa värden i normalformsekvationen får vi följande värden:
0,08835
med(ett)= 0,486793
0,446639
Genom att ersätta nya värden får vi:
0,215243
med(2)= 0,405396
0,558336
Vi fortsätter beräkningarna tills vi närmar oss värden som uppfyller det givna villkoret.
0,18813
med(7)= 0,441091
0,544319
0,188002
med(8) = 0,44164
0,544428
Låt oss kontrollera riktigheten av de erhållna resultaten:
4,5*0,1880 -1,7*0,441+3,5*0,544=2,0003
3,1*0,1880+2,3*0,441-1,1x*0,544=0,9987
1,8*0,1880+2,5*0,441+4,7*0,544=3,9977
Resultaten som erhålls genom att ersätta de hittade värdena i de ursprungliga ekvationerna uppfyller helt ekvationens villkor.
Som vi kan se ger den enkla iterationsmetoden ganska exakta resultat, men för att lösa denna ekvation var vi tvungna att lägga ner mycket tid och göra krångliga beräkningar.
