Jeg tror vi burde starte med en historie så strålendematematisk verktøy som differensiallikninger. Som alle differensial- og integrerte kalkulasjoner ble disse ligningene oppfunnet av Newton på slutten av 1600-tallet. Han anså denne oppdagelsen hans for å være så viktig at han til og med krypterte et budskap som i dag kan oversettes noe som dette: "Alle naturlover er beskrevet av differensiallikninger." Dette kan virke som en overdrivelse, men det er det. Enhver lov om fysikk, kjemi, biologi kan beskrives av disse ligningene.
Matematikerne Euler og Lagrange ga et enormt bidrag til utviklingen og opprettelsen av teorien om differensiallikninger. Allerede på 1700-tallet oppdaget og utviklet de det som nå studeres i universitetsårene.
En ny milepæl i studien av differensiallikningerstartet takket være Henri Poincaré. Han skapte den "kvalitative teorien om differensiallikninger", som i kombinasjon med funksjonsteorien til en kompleks variabel, bidro betydelig til grunnlaget for topologien - vitenskapen om rommet og dens egenskaper.
Hva er differensialligninger?
Mange er redde for en setning"differensial ligning". Imidlertid vil vi i denne artikkelen detaljere hele essensen av dette veldig nyttige matematiske apparatet, som faktisk ikke er så komplisert som navnet antyder. For å begynne å snakke om differensiallikninger av første orden, bør du først bli kjent med de grunnleggende begrepene som iboende er knyttet til denne definisjonen. Og vi begynner med differensialet.
Differensial
Mange kjenner dette konseptet fra skolen.La oss imidlertid dvele nærmere ved det. Se for deg en graf av en funksjon. Vi kan forstørre den til en slik grad at ethvert segment av den får form av en rett linje. På den tar vi to punkter som er uendelig nær hverandre. Forskjellen mellom koordinatene (x eller y) vil være uendelig liten. Det kalles differensial og betegnes med tegnene dy (differensial fra y) og dx (differensial fra x). Det er veldig viktig å forstå at differensialet ikke er en endelig verdi, og dette er dens betydning og hovedfunksjon.
Og nå er det nødvendig å vurdere det neste elementet, som vil være nyttig for oss i å forklare begrepet en differensialligning. Dette er et derivat.
Derivat
Vi hørte sikkert alle dette konseptet på skolen.Derivatet sies å være den hastigheten som en funksjon øker eller avtar med. Fra denne definisjonen blir mye imidlertid uforståelig. La oss prøve å forklare derivatet i form av differensialer. La oss gå tilbake til det uendelig minste segmentet av en funksjon med to punkter som er i minimum avstand fra hverandre. Men selv for denne avstanden har funksjonen tid til å endre seg noe. Og for å beskrive denne endringen og kom opp med et derivat, som ellers kan skrives som forholdet mellom differensialer: f (x) "= df / dx.
Nå er det verdt å vurdere de grunnleggende egenskapene til derivatet. Det er bare tre av dem:
- Derivatet av summen eller differansen kan representeres som summen eller differansen av derivatene: (a + b) "= a" + b "og (a-b)" = a "-b".
- Den andre egenskapen er relatert til multiplikasjon. Derivatet til et produkt er summen av produktene til en funksjon av derivatet til en annen: (a * b) "= a" * b + a * b ".
- Derivatet av forskjellen kan skrives som følgende likhet: (a / b) "= (a" * b-a * b ") / b2.
Alle disse egenskapene vil være nyttige for oss for å finne løsninger på førsteordens differensiallikninger.
Det er også delvis derivater.La oss si at vi har en funksjon z som avhenger av variablene x og y. For å beregne delderivatet av denne funksjonen, si med hensyn til x, må vi ta variabelen y som en konstant og bare differensiere.
Integrert
Et annet viktig konsept er integralet.I hovedsak er dette det stikk motsatte av et derivat. Integraler finnes i flere former, men for å løse de enkleste differensialligningene trenger vi de mest trivielle ubestemte integralene.
Så hva er en integral?La oss si at vi har noen avhengighet av f på x. Vi tar integralet fra det og får funksjonen F (x) (ofte kalt antiderivativ), hvis derivat er lik den opprinnelige funksjonen. Dermed F (x) "= f (x). Det følger også at integriteten til derivatet er lik den opprinnelige funksjonen.
Når du løser differensiallikninger, er det veldig viktig å forstå betydningen og funksjonen til integralet, siden du ofte vil måtte ta dem for å finne en løsning.
Ligninger er forskjellige, avhengig av deres natur. I neste avsnitt vil vi se på typene av førsteordens differensialligninger, og så vil vi lære hvordan vi kan løse dem.
Klasser av differensiallikninger
"Avvik" er delt i rekkefølge etter derivater,deltar i dem. Dermed er det første, andre, tredje og mer rekkefølge. De kan også deles inn i flere klasser: vanlige og delvis derivater.
I denne artikkelen vil vi se på vanligdifferensiallikninger av første orden. Vi vil også diskutere eksempler og hvordan vi kan løse dem i de følgende avsnittene. Vi vil bare vurdere ODE, fordi dette er de vanligste typene ligninger. Vanlig er delt inn i underarter: med skillbare variabler, homogene og heterogene. Deretter vil du lære hvordan de skiller seg fra hverandre og lære å løse dem.
I tillegg kan disse ligningene kombineres slik at etter at vi får et system med førsteordens differensiallikninger. Vi vil også vurdere slike systemer og lære å løse.
Hvorfor vurderer vi bare den første bestillingen? Fordi du trenger å starte enkelt, og det er rett og slett umulig å beskrive alt relatert til differensiallikninger i en artikkel.
Separable ligninger
Dette er kanskje den enkleste differensialenførste ordens ligninger. Disse inkluderer eksempler som kan skrives slik: y "= f (x) * f (y). For å løse denne ligningen trenger vi en formel for å representere derivatet som et forhold av differensialer: y" = dy / dx. Ved å bruke den får vi følgende ligning: dy / dx = f (x) * f (y). Nå kan vi vende oss til metoden for å løse standardeksempler: vi vil dele variablene i deler, det vil si at vi vil overføre alt fra y-variabelen til den delen der dy befinner seg, og gjøre det samme med x-variabelen. Vi får en ligning av formen: dy / f (y) = f (x) dx, som løses ved å ta integraler fra begge sider. Ikke glem konstanten, som må innstilles etter at du har tatt integralen.
Løsningen på enhver "diffusjon" er en funksjon av avhengigheten av x til y (i vårt tilfelle), eller hvis det er en numerisk tilstand, så er svaret i form av et tall. La oss analysere hele løpet av løsningen ved hjelp av et spesifikt eksempel:
y "= 2y * sin (x)
Vi overfører variabler i forskjellige retninger:
dy / y = 2 * sin (x) dx
Nå tar vi integraler. Alle av dem finnes i en spesiell tabell over integraler. Og vi får:
ln (y) = -2 * cos (x) + C.
Om nødvendig kan vi uttrykke "spill" somfunksjon fra "x". Nå kan vi si at vår differensialligning er løst hvis tilstanden ikke er spesifisert. En tilstand kan spesifiseres, for eksempel y (n / 2) = e. Så erstatter vi ganske enkelt verdien av disse variablene i løsningen og finner verdien av konstanten. I vårt eksempel er det lik 1.
Homogene differensiallikninger av første orden
La oss nå gå videre til den vanskeligere delen.Homogene differensiallikninger av første orden kan skrives i generell form som følger: y "= z (x, y). Det skal bemerkes at den rette funksjonen til to variabler er homogen, og den kan ikke deles i to avhengigheter: z på x og z på y. Sjekk om ligningen er homogen eller ikke, er ganske enkel: vi gjør erstatningen x = k * x og y = k * y. Nå avbryter vi alle k. Hvis alle disse bokstavene har blitt kansellert, så ligningen er homogen, og vi kan trygt gå videre til løsningen. La oss si: prinsippet om å løse disse eksemplene er også veldig enkelt.
Vi må skifte ut:y = t (x) * x, hvor t er en funksjon som også avhenger av x. Deretter kan vi uttrykke derivatet: y "= t" (x) * x + t. Ved å erstatte alt dette i vår opprinnelige ligning og forenkle det, får vi et eksempel med skillbare variabler t og x. Vi løser det og får avhengigheten t (x). Når vi får det, erstatter vi ganske enkelt y = t (x) * x i vår forrige erstatning. Da får vi avhengigheten av y på x.
For å gjøre det tydeligere, la oss se på et eksempel: x * y "= y-x * ey / x.
Når du sjekker og bytter ut, blir alt redusert.Dette betyr at ligningen er veldig homogen. Nå lager vi en ny erstatning, som vi snakket om: y = t (x) * x og y "= t" (x) * x + t (x). Etter forenkling får vi følgende ligning: t "(x) * x = -et... Løs det resulterende eksemplet med atskilte variabler og få: e-t= ln (C * x). Vi trenger bare å erstatte t med y / x (når alt kommer til alt, hvis y = t * x, så t = y / x), og vi får svaret: e-y / x= ln (x * С).
Lineære differensiallikninger av første orden
Det er på tide å vurdere et annet bredt tema.Vi vil analysere førsteordens inhomogene differensiallikninger. Hvordan er de forskjellige fra de to foregående? La oss finne ut av det. Lineære differensiallikninger av første orden i generell form kan skrives som følger: y "+ g (x) * y = z (x). Det er verdt å avklare at z (x) og g (x) kan være konstante verdier.
Og nå et eksempel: y "- y * x = x2.
Det er to måter å løse dette på, og vi vil håndtere begge i rekkefølge. Den første er metoden for variasjon av vilkårlige konstanter.
For å løse ligningen på denne måten, må du først likestille høyre side til null og løse den resulterende ligningen, som etter overføring av delene vil ha form:
y "= y * x;
dy / dx = y * x;
dy / y = xdx;
ln | y | = x2/ 2 + C;
y = ex2 / 2* yC= C1* ex2 / 2.
Nå må vi erstatte konstanten C1 til funksjonen v (x), som vi må finne.
y = v * ex2 / 2.
La oss erstatte derivatet:
y "= v" * ex2 / 2-x * v * ex2 / 2.
Og vi erstatter disse uttrykkene i den opprinnelige ligningen:
v "* ex2 / 2 - x * v * ex2 / 2 + x * v * ex2 / 2 = x2.
Du kan se at to vilkår er kansellert til venstre. Hvis dette ikke skjedde i et eksempel, gjorde du noe galt. La oss fortsette:
v "* ex2 / 2 = x2.
Nå løser vi den vanlige ligningen der vi trenger å skille variablene:
dv / dx = x2/ ex2 / 2;
dv = x2* e-x2 / 2dx.
For å trekke ut integralen, må vi søkeher integrering av deler. Dette er imidlertid ikke gjenstand for vår artikkel. Hvis du er interessert, kan du lære hvordan du gjør disse tingene selv. Det er ikke vanskelig, og med nok dyktighet og oppmerksomhet tar det ikke mye tid.
La oss gå til den andre metoden for å løse inhomogene ligninger: Bernoulli-metoden. Hvilken tilnærming som er raskere og enklere er opp til deg.
Så når vi løser ligningen etter denne metoden, videt er nødvendig å foreta en erstatning: y = k * n. Her er k og n noen x-avhengige funksjoner. Deretter vil derivatet se slik ut: y "= k" * n + k * n "Erstatt begge substitusjoner i ligningen:
k "* n + k * n" + x * k * n = x2.
Vi grupperer:
k "* n + k * (n" + x * n) = x2.
Nå må vi likestille det som er i parentes. Nå, hvis du kombinerer de to resulterende ligningene, får du et system med førsteordens differensiallikninger som må løses:
n "+ x * n = 0;
k "* n = x2.
Vi løser den første likheten som en vanlig ligning. For å gjøre dette må du skille variablene:
dn / dx = x * v;
dn / n = xdx.
Vi tar integralet og får: ln (n) = x2/ 2. Så hvis vi uttrykker n:
n = ex2 / 2.
Nå erstatter vi den resulterende likheten i systemets andre ligning:
k "* ex2 / 2= x2.
Og konvertering får vi samme likhet som i den første metoden:
dk = x2/ ex2 / 2.
Vi vil heller ikke analysere videre handlinger.Det skal sies at løsningen av førsteordens differensiallikninger i begynnelsen forårsaker betydelige vanskeligheter. Når du dykker dypere inn i emnet, begynner det imidlertid å bli bedre og bedre.
Hvor brukes differensiallikninger?
Veldig aktive differensiallikningerbrukt i fysikk, siden nesten alle grunnleggende lover er skrevet i differensiell form, og formlene vi ser er løsningen på disse ligningene. I kjemi brukes de av samme grunn: de grunnleggende lovene blir utledet med deres hjelp. I biologi brukes differensiallikninger for å modellere oppførselen til systemer, for eksempel et rovdyr-byttedyr. De kan også brukes til å lage avlsmodeller for for eksempel en mikrobiell koloni.
Hvordan hjelper differensiallikninger i livet?
Svaret på dette spørsmålet er enkelt: ingenting.Hvis du ikke er forsker eller ingeniør, er det lite sannsynlig at de vil være nyttige for deg. Men for generell utvikling skader det ikke å vite hva en differensialligning er og hvordan den løses. Og så spørsmålet om en sønn eller datter "hva er en differensialligning?" vil ikke forvirre deg. Vel, hvis du er forsker eller ingeniør, forstår du selv viktigheten av dette emnet i en hvilken som helst vitenskap. Men det viktigste er at nå er spørsmålet "hvordan løse en differensialligning av første orden?" du kan alltid gi et svar. Enig, det er alltid hyggelig når du forstår hva folk til og med er redde for å forstå.
Hovedproblemene i studien
Hovedproblemet med å forstå dette emnet erdårlig dyktighet til å integrere og differensiere funksjoner. Hvis du ikke er flink til å ta derivater og integraler, er det sannsynligvis verdt å lære mer, mestre forskjellige metoder for integrering og differensiering, og først deretter begynne å studere materialet som ble beskrevet i artikkelen.
Noen mennesker blir overrasket når de finner ut at dxkan overføres, fordi tidligere (på skolen) ble det uttalt at fraksjonen dy / dx er udelelig. Her må du lese litteraturen om derivatet og forstå at det er forholdet mellom uendelige størrelser som kan manipuleres når du løser ligninger.
Mange mennesker skjønner ikke umiddelbart at løsning av førsteordens differensialligninger ofte er en funksjon eller ikke-triviell integral, og denne vrangforestillingen gir dem mange problemer.
Hva mer kan du studere for å få en bedre forståelse?
Det er best å starte videre nedsenking i verdendifferensialregning fra spesialiserte lærebøker, for eksempel i matematisk analyse for studenter med ikke-matematiske spesialiteter. Deretter kan du gå videre til mer spesialisert litteratur.
Det er verdt å si at det, i tillegg til differensiallikninger, også er integrerte ligninger, så du vil alltid ha noe å strebe etter og hva du skal studere.
konklusjon
Vi håper at etter å ha lest denne artikkelen, har du en ide om hva differensialligninger er og hvordan du kan løse dem riktig.
I alle fall vil matematikk på en eller annen måte være nyttig for oss i livet. Den utvikler logikk og oppmerksomhet, uten hvilken hver person er som ingen hender.
