Maclaurin-serie en decompositie van sommige functies

Studenten van hogere wiskunde zouden het moeten wetendat de som van een bepaalde machtreeks die behoort tot het interval van convergentie van de ons gegeven reeks een continue en oneindig aantal maal gedifferentieerde functie is. De vraag rijst: is het mogelijk om te beweren dat een bepaalde willekeurige functie f (x) de som is van een bepaalde machtreeks? Dat wil zeggen, onder welke omstandigheden kan f-ija f (x) worden weergegeven door een machtreeks? Het belang van zo'n vraag ligt in het feit dat het mogelijk is om de f-yu f (x) ongeveer te vervangen door de som van de eerste paar termen van de machtreeks, dat wil zeggen door een polynoom. Zo'n vervanging van een functie door een vrij eenvoudige uitdrukking - een polynoom - is ook handig om enkele problemen van wiskundige analyse op te lossen, namelijk: bij het oplossen van integralen, bij het berekenen van differentiaalvergelijkingen, enz.

Het is bewezen dat voor sommige f-u en f (x), waarin het mogelijk is afgeleiden te berekenen tot aan de (n + 1) de orde, inclusief de laatste, in de buurt (α - R; X₀ + R) van een bepaald punt х = α is de volgende formule geldig:

Deze formule draagt ​​de naam van de beroemde wetenschapper Brook Taylor. De serie die is verkregen uit de vorige heet de Maclaurin-serie:

De regel die het mogelijk maakt om de uitbreiding in de Maclaurin-serie uit te voeren:

1. Bepaal de afgeleiden van de eerste, tweede, derde ... ordes.
2. Bereken waaraan de afgeleiden bij x = 0 gelijk zijn.
3. Schrijf de Maclaurin-reeks voor deze functie op en bepaal vervolgens het interval van zijn convergentie.
4. Bepaal het interval (-R; R), waar het resterende deel van de Maclaurin-formule

R_n(x) -> 0 als n -> oneindig. Als zoiets bestaat, moet de functie f (x) erin samenvallen met de som van de Maclaurin-reeks.

Laten we nu eens kijken naar de Maclaurin-serie voor individuele functies.

1. Dus de eerste is f (x) = e^X​Door zijn singulariteiten heeft een dergelijke functie natuurlijk afgeleiden van zeer verschillende orden, en f^(k)(x) = e^met, waarbij k gelijk is aan alle natuurlijke getallen. Vervang x = 0. We krijgen f^(k)(0) = e⁰= 1, k = 1,2 ... Op basis van het bovenstaande is de reeks e^X ziet er als volgt uit:

2. Maclaurin-reeks voor de functie f (x) = sin x. Laten we meteen duidelijk maken dat de functie voor alle onbekenden afgeleiden zal hebben; bovendien f^"(x) = cos x = zonde (x + n / 2), f^""(x) = -sin x = zonde (x + 2 * n / 2) ..., f^(k)(x) = sin (x + k * n / 2), waarbij k gelijk is aan een natuurlijk getal. Dat wil zeggen, na het maken van eenvoudige berekeningen, kunnen we tot de conclusie komen dat de reeks voor f (x) = sin x deze vorm zal hebben:

3. Laten we nu proberen f-yu f (x) = cos x te beschouwen. Voor alle onbekenden heeft het afgeleiden van willekeurige volgorde, en | f^(k)(x) | = | cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1.2 ... Nogmaals, na het maken van bepaalde berekeningen, krijgen we dat de reeks voor f (x) = cos x er als volgt uitziet:

Daarom hebben we de belangrijkste functies diekunnen worden uitgebreid tot een Maclaurin-serie, maar voor sommige functies worden ze aangevuld met een Taylor-serie. Nu zullen we ze ook vermelden. Het is ook vermeldenswaard dat de Taylor en Maclaurin-series een belangrijk onderdeel vormen van de workshop voor het oplossen van series in hogere wiskunde. Dus Taylor's gelederen.

1. De eerste is de reeks voor f-ii f (x) = ln (1 + x).Net als in de vorige voorbeelden kunnen we voor een gegeven f (x) = ln (1 + x) de reeks optellen met de algemene vorm van de Maclaurin-reeks. voor deze functie kan de Maclaurin-serie echter veel gemakkelijker worden verkregen. Door een bepaalde geometrische reeks te integreren, krijgen we een reeks voor f (x) = ln (1 + x) van zo'n monster:

2. En de tweede, die definitief zal zijn in ons artikel, is de reeks voor f (x) = arctan x. Voor x behorende tot het interval [-1; 1], is de ontleding geldig:

Dat is alles. Dit artikel behandelde de meest gebruikte Taylor- en Maclaurin-series in de hogere wiskunde, in het bijzonder in economie en technische universiteiten.