Što je uvjetna vjerojatnost i kako je pravilno izračunati?

Često smo u životu suočeni s onim što je potrebnoprocijeniti šanse za događaj. Isplati li se kupiti srećku ili ne, kakav će biti spol trećeg djeteta u obitelji, hoće li sutra biti u redu ili će opet kišiti - primjera je takvih bezbroj. U najjednostavnijem slučaju, broj povoljnih ishoda treba podijeliti s ukupnim brojem događaja. Ako u lutriji ima 10 dobitnih listića, a ukupno ih je 50, tada su šanse za dobitak 10/50 = 0,2, odnosno 20 protiv 100. Ali što učiniti ako postoji nekoliko događaja, a oni su usko povezani? U ovom nas slučaju više neće zanimati jednostavna, već uvjetna vjerojatnost. Koja je to vrijednost i kako se može izračunati - upravo će o tome biti riječi u našem članku.

Koncept

Uvjetna vjerojatnost su šanse za pojavuodređeni događaj, pod uvjetom da se već dogodio drugi srodni događaj. Pogledajmo jednostavan primjer bacanja novčića. Ako još nije izvučeno, šanse za dobivanje glava ili repova bit će jednake. Ali ako je pet puta zaredom novčić pao s podignutim grbom, onda se složite da očekujete 6., 7. i još više 10. ponavljanje takvog ishoda bit će nelogično. Svakom ponovljenom pojavom glava šanse da se pojave repovi rastu i prije ili kasnije će se pojaviti.

Formula uvjetne vjerojatnosti

Idemo sada shvatiti kako je ova vrijednostizračunati. Označimo prvi događaj s B, a drugi s A. Ako su šanse za pojavu B različite od nule, vrijedi sljedeća jednakost:

P (A | B) = P (AB) / P (B), gdje:

• R (A | V) - uvjetna vjerojatnost ukupnog A;
• P (AB) - vjerojatnost zajedničkog nastupa događaja A i B;
• P (B) je vjerojatnost događaja B.

Lagano transformirajući ovaj omjer, dobivamo P (AB) = P (A | B) * P (B). A ako primijenimo indukcijsku metodu, tada možemo izvesti formulu proizvoda i koristiti je za proizvoljan broj događaja:

P (A₁, ALI₂, ALI₃,…ALI_n) = P (A₁| A₂…ALI_n) * P (A₂| A₃…ALI_n) * P (A₃| A₄…ALI_n) ... P (A_n-1| A_n) * P (A_n).

praksa

Da biste lakše shvatili kakoizračunava se uvjetna vjerojatnost događaja, razmotrite nekoliko primjera. Pretpostavimo da imate vazu koja sadrži 8 čokolada i 7 kovnica. Veličine su iste, a dvije se slučajno izvlače sekvencijalno. Kakve su šanse da oboje ispadnu čokolada? Uvedimo oznaku. Neka ukupno A znači da je prvi bombon čokolada, a ukupno B - drugi slatkiš. Tada dobivate sljedeće:

P (A) = P (B) = 8/15,

P (A | B) = P (B | A) = 7/14 = 1/2,

P (AB) = 8/15 x 1/2 = 4/15 ≈ 0,27

Razmotrimo još jedan slučaj. Pretpostavimo da postoji obitelj s dva djeteta i da znamo da je barem jedno dijete djevojčica.

Kolika je uvjetna vjerojatnost koju imaju dječaciovi roditelji još nisu? Kao i u prethodnom slučaju, krenimo s notacijom. Neka je P (B) - vjerojatnost da u obitelji postoji barem jedna djevojčica, P (A | B) - vjerojatnost da je i drugo dijete djevojčica, P (AB) - šanse da su u njoj dvije djevojčice obitelj. Sada napravimo izračune. Ukupno mogu postojati 4 različite kombinacije spola djece, a u samo jednom slučaju (kada su u obitelji dva dječaka) među djecom neće biti djevojčice. Stoga je vjerojatnost P (B) = 3/4, a P (AB) = 1/4. Zatim slijedeći našu formulu dobivamo:

P (A | B) = 1/4: 3/4 = 1/3.

Rezultat možete protumačiti ovako:ako ne bismo znali za spol jednog od djece, šanse za dvije djevojčice bile bi 25 do 100. Ali budući da znamo da je jedno dijete djevojčica, vjerojatnost da u obitelji nema dječaka raste na jedno -treći.