Απλή μέθοδος επανάληψης, που ονομάζεται επίσης μέθοδοςΗ διαδοχική προσέγγιση είναι ένας μαθηματικός αλγόριθμος για την εύρεση της τιμής μιας άγνωστης ποσότητας με τη σταδιακή τελειοποίησή της. Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι ότι, όπως υποδηλώνει το όνομα, σταδιακά εκφράζοντας τα επόμενα από την αρχική προσέγγιση, λαμβάνονται όλο και πιο εκλεπτυσμένα αποτελέσματα. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται για την εύρεση της τιμής μιας μεταβλητής σε μια δεδομένη συνάρτηση, καθώς και για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων, τόσο γραμμικών όσο και μη γραμμικών.
Ας εξετάσουμε πώς εφαρμόζεται αυτή η μέθοδος κατά την επίλυση ενός SLAE. Η απλή μέθοδος επανάληψης έχει τον ακόλουθο αλγόριθμο:
1.Έλεγχος της εκπλήρωσης της συνθήκης σύγκλισης στον αρχικό πίνακα. Θεώρημα σύγκλισης: εάν ο αρχικός πίνακας του συστήματος έχει διαγώνια κυριαρχία (δηλαδή, σε κάθε σειρά, τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου πρέπει να είναι μεγαλύτερα σε συντελεστή από το άθροισμα των στοιχείων του συντελεστή δευτερεύοντος διαγώνιου), τότε η μέθοδος του απλού οι επαναλήψεις είναι συγκλίνουσες.
2.Η μήτρα του αρχικού συστήματος δεν έχει πάντα διαγώνια κυριαρχία. Σε τέτοιες περιπτώσεις, το σύστημα μπορεί να μετατραπεί. Οι εξισώσεις που ικανοποιούν τη συνθήκη σύγκλισης μένουν ανέπαφες και με αυτές που δεν ικανοποιούν σχηματίζουν γραμμικούς συνδυασμούς, δηλ. πολλαπλασιάστε, αφαιρέστε, προσθέστε τις εξισώσεις μαζί μέχρι να ληφθεί το επιθυμητό αποτέλεσμα.
Εάν στο προκύπτον σύστημα στην κύρια διαγώνιο υπάρχουν άβολοι συντελεστές, τότε όροι της φόρμας μεκαι* ΧΕγώ, των οποίων τα σημάδια πρέπει να συμπίπτουν με τα σημάδια των διαγώνιων στοιχείων.
3. Μετατροπή του προκύπτοντος συστήματος στην κανονική του μορφή:
με το-= β-+ α * x-
Αυτό μπορεί να γίνει με πολλούς τρόπους, για παράδειγμα, ως εξής: από την πρώτη εξίσωση, εκφράστε το x1 μέσω άλλων αγνώστων, από το δεύτερο - x2, από το τρίτο - x3 και τα λοιπά. Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιούμε τους τύπους:
αij= - (αij / έναii)
και= βκαι/καιii
Θα πρέπει να επαληθευτεί ξανά ότι το προκύπτον σύστημα κανονικής μορφής πληροί την συνθήκη σύγκλισης:
∑ (j = 1) | αij| ≤ 1, ενώ i = 1,2, ... n
4. Αρχίζουμε να εφαρμόζουμε, μάλιστα, την ίδια τη μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων.
με το(0)είναι η αρχική προσέγγιση, εκφράζουμε μέσω αυτής x(1), μετά μέσω x(1) εκφράζω x(2)... Ο γενικός τύπος σε μορφή μήτρας μοιάζει με αυτό:
με το(n)= β-+ α * x(n-1)
Υπολογίζουμε μέχρι να φτάσουμε στην απαιτούμενη ακρίβεια:
μέγιστο | xκαι(κ) -χκαι(k + 1) ≤ ε
Ας κάνουμε λοιπόν πράξη την απλή μέθοδο επανάληψης. Παράδειγμα:
Επίλυση SLAE:
4,5x1-1,7x2 + 3,5x3 = 2
3,1x1 + 2,3x2-1,1x3 = 1
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4 με ακρίβεια ε = 10-3
Ας δούμε αν τα διαγώνια στοιχεία υπερισχύουν στο συντελεστή.
Βλέπουμε ότι μόνο η τρίτη εξίσωση ικανοποιεί τη συνθήκη σύγκλισης. Μετασχηματίζουμε το πρώτο και το δεύτερο, προσθέτουμε το δεύτερο στην πρώτη εξίσωση:
7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3
Αφαιρέστε το πρώτο από το τρίτο:
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
Μετατρέψαμε το αρχικό σύστημα σε ισοδύναμο:
7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4
Τώρα ας επαναφέρουμε το σύστημα στο κανονικό:
x1 = 0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2 = 0,4762 + 0,6429x1-0,2857x3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2
Έλεγχος της σύγκλισης της επαναληπτικής διαδικασίας:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, δηλ. πληρούται η προϋπόθεση.
0,3947
Αρχική προσέγγιση x(0) = 0,4762
0,8511
Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στην εξίσωση κανονικής μορφής, παίρνουμε τις ακόλουθες τιμές:
0,08835
με το(1)= 0,486793
0,446639
Αντικαθιστώντας νέες τιμές, παίρνουμε:
0,215243
με το(2)= 0,405396
0,558336
Συνεχίζουμε τους υπολογισμούς μέχρι να πλησιάσουμε τις τιμές που ικανοποιούν τη δεδομένη συνθήκη.
0,18813
με το(7)= 0,441091
0,544319
0,188002
με το(οκτώ) = 0,44164
0,544428
Ας ελέγξουμε την ορθότητα των αποτελεσμάτων που ελήφθησαν:
4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1,1 x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977
Τα αποτελέσματα που λαμβάνονται με την αντικατάσταση των τιμών που βρέθηκαν στις αρχικές εξισώσεις ικανοποιούν πλήρως τις συνθήκες της εξίσωσης.
Όπως μπορούμε να δούμε, η απλή μέθοδος επανάληψης δίνει αρκετά ακριβή αποτελέσματα, ωστόσο, για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση, χρειάστηκε να ξοδέψουμε πολύ χρόνο και να κάνουμε περίπλοκους υπολογισμούς.
