In einem Schulmathematikkurs hört ein Kind zum ersten Mal den Begriff „Gleichung“. Was ist das, versuchen wir es gemeinsam herauszufinden. In diesem Artikel werden wir die Typen und Lösungen betrachten.
Mathematik. Gleichungen
Zunächst schlagen wir vor, sich selbst darum zu kümmernKonzept, was es ist? Wie viele Lehrbücher der Mathematik sagen, ist eine Gleichung ein Ausdruck, zwischen dem immer ein Gleichheitszeichen steht. Diese Ausdrücke enthalten Buchstaben, die sogenannten Variablen, deren Wert gefunden werden muss.
Was ist eine Variable? Dies ist ein Attribut des Systems, das seine Bedeutung ändert. Ein gutes Beispiel für Variablen sind:
- Lufttemperatur;
- Größe des Kindes;
- Gewicht und so weiter.
In der Mathematik werden sie mit Buchstaben bezeichnet, zum Beispiel:x, a, b, c ... Normalerweise klingt eine mathematische Aufgabe so: Finde den Wert der Gleichung. Das bedeutet, dass Sie den Wert dieser Variablen ermitteln müssen.
Sorten
Die Gleichung (was ist das, haben wir im vorherigen Absatz analysiert) kann die folgende Form haben:
- linear;
- Quadrat;
- kubisch;
- algebraisch;
- transzendental.
Für eine detailliertere Bekanntschaft mit allen Typen werden wir jeden einzeln betrachten.
Lineargleichung
Dies ist die erste Art, die Schulkinder kennenlernen.Sie sind recht schnell und einfach gelöst. Also, lineare Gleichung, was ist das? Dies ist ein Ausdruck der Form: ah = c. Dies ist nicht ganz klar, deshalb geben wir einige Beispiele: 2x = 26; 5x = 40; 1,2x = 6.
Schauen wir uns einige Beispiele für Gleichungen an.Dazu müssen wir einerseits alle bekannten Daten sammeln und andererseits die Unbekannten: x = 26/2; x = 40/5; x = 6 / 1,2. Hier wurden die elementaren Regeln der Mathematik verwendet: a * c = e, daraus c = e / a; a = e / c. Um die Lösung der Gleichung zu vervollständigen, führen wir eine Aktion (in unserem Fall Division) x = 13 aus; x = 8; x = 5. Dies waren Beispiele für Multiplikationen. Betrachten wir nun Subtraktion und Addition: x + 3 = 9; 10x-5 = 15. Wir übertragen die bekannten Daten in eine Richtung: x = 9-3; x = 20/10. Wir führen die letzte Aktion aus: x = 6; x = 2.
Es sind auch Varianten linearer Gleichungen möglich, wobeimehr als eine Variable wird verwendet: 2x-2y = 4. Um zu lösen, ist es notwendig, 2y zu jedem Teil hinzuzufügen, wir erhalten 2x-2y + 2y = 4-2y, wie wir bemerkt haben, auf der linken Seite des Gleichheitszeichens werden -2y und + 2y aufgehoben, während wir immer noch haben: 2x = 4 -2y. Der letzte Schritt besteht darin, jeden Teil durch zwei zu teilen, wir erhalten die Antwort: x ist gleich zwei minus dem Spiel.
Gleichungsprobleme treten auch beiPapyri Ahmes. Hier ist eines der Probleme: Die Zahl und der vierte Teil addieren sich zu 15. Um es zu lösen, schreiben wir die folgende Gleichung: x plus ein Viertel x gleich fünfzehn. Wir sehen ein weiteres Beispiel für eine lineare Gleichung, als Ergebnis der Lösung erhalten wir die Antwort: x = 12. Dieses Problem lässt sich aber auch auf andere Weise lösen, nämlich die ägyptische oder, wie es anders genannt wird, die Annahmemethode. In Papyrus wird die folgende Lösung verwendet: Nehmen Sie vier und den vierten Teil, dh einen. Insgesamt ergeben sie fünf, jetzt müssen fünfzehn durch die Summe geteilt werden, wir erhalten drei, mit der letzten Aktion multiplizieren wir drei mit vier. Wir erhalten die Antwort: 12. Warum teilen wir in der Lösung fünfzehn durch fünf? Wir finden also heraus, wie oft fünfzehn, dh das Ergebnis, das wir erhalten müssen, weniger als fünf ist. Auf diese Weise wurden im Mittelalter Probleme gelöst, es wurde die Methode der falschen Position genannt.
Quadratische Gleichungen
Neben den zuvor besprochenen Beispielen gibt es noch andere. Was für? Quadratische Gleichung, was ist das? Sie haben die Form ax2+ bx + c = 0. Um sie zu lösen, müssen Sie sich mit einigen Konzepten und Regeln vertraut machen.
Zuerst müssen Sie die Diskriminante nach der Formel finden: b2-4ac. Für das Ergebnis der Entscheidung gibt es drei Möglichkeiten:
- die Diskriminante ist größer als Null;
- weniger als Null;
- ist null.
Bei der ersten Option können wir die Antwort aus zwei Nullstellen erhalten, die durch die Formel gefunden werden: -b + -Wurzel aus der Diskriminante geteilt durch den verdoppelten ersten Koeffizienten, also 2a.
Im zweiten Fall hat die Gleichung keine Wurzeln. Im dritten Fall wird die Wurzel durch die Formel gefunden: -b / 2a.
Betrachten Sie ein Beispiel für eine quadratische Gleichung für mehrgenaue Bekanntschaft: drei x zum Quadrat minus vierzehn x minus fünf gleich null. Zunächst suchen wir, wie bereits geschrieben, nach der Diskriminante, in unserem Fall ist sie gleich 256. Beachten Sie, dass die resultierende Zahl größer als Null ist, daher sollten wir eine Antwort erhalten, die aus zwei Wurzeln besteht. Setze die resultierende Diskriminante in die Formel zum Finden der Wurzeln ein. Als Ergebnis haben wir: x ist gleich fünf und minus einem Drittel.
Sonderfälle in quadratischen Gleichungen
Dies sind Beispiele, bei denen einige Werte null sind (a, b oder c) und möglicherweise mehrere.
Nehmen wir zum Beispiel die folgende Gleichung, dieist quadratisch: zwei x quadriert gleich null, hier sehen wir, dass b und c null sind. Versuchen wir es zu lösen, dazu teilen wir beide Seiten der Gleichung durch zwei, wir haben: x2= 0. Als Ergebnis erhalten wir x = 0.
Ein weiterer Fall 16x2-9 = 0. Hier nur b = 0. Lösen wir die Gleichung, übertragen Sie den freien Koeffizienten auf die rechte Seite: 16x2= 9, jetzt teilen wir jeden Teil durch sechzehn: x2= neun Sechzehntel. Da wir x zum Quadrat haben, kann die Wurzel von 9/16 entweder negativ oder positiv sein. Wir schreiben die Antwort wie folgt: x ist gleich plus / minus drei Viertel.
Es ist auch möglich, dass die Antwort überhaupt keine Wurzeln hat. Schauen wir uns dieses Beispiel an: 5x2+ 80 = 0, hier b = 0. Um den freien Term zu lösen, werfen Sie ihn auf die rechte Seite, nach diesen Aktionen erhalten wir: 5x2= -80, jetzt teilen wir jeden Teil durch fünf: x2= minus sechzehn. Wenn wir eine beliebige Zahl quadrieren, erhalten wir keinen negativen Wert. Daher klingt unsere Antwort so: Die Gleichung hat keine Wurzeln.
Trinomialzerlegung
Eine quadratische Aufgabe kann auch anders klingen: ein quadratisches Trinom herausrechnen. Dies kann mit der folgenden Formel erfolgen: a (x-x1) (x-x2). Dazu ist es wie bei der anderen Variante der Aufgabe notwendig, die Diskriminante zu finden.
Betrachten Sie das folgende Beispiel: 3x2-14x-5, faktoriere das Trinom.Wir finden die Diskriminante mit der uns bereits bekannten Formel, die gleich 256 ist. Wir bemerken sofort, dass 256 größer als Null ist, daher hat die Gleichung zwei Wurzeln. Wir finden sie, wie im vorherigen Absatz, haben wir: x = fünf und minus ein Drittel. Verwenden wir die Formel zum Zerlegen des Trinoms in Faktoren: 3 (x-5) (x + 1/3). In der zweiten Klammer haben wir ein Gleichheitszeichen, da die Formel ein Minuszeichen enthält und die Wurzel auch negativ ist, mit mathematischen Grundkenntnissen haben wir insgesamt ein Pluszeichen. Der Einfachheit halber multiplizieren wir den ersten und dritten Term der Gleichung, um den Bruch loszuwerden: (x-5) (x + 1).
Gleichungen zum Quadrat reduzieren
An dieser Stelle lernen wir, komplexere Gleichungen zu lösen. Fangen wir gleich mit einem Beispiel an:
(x2 - 2x)2 - 2 (x2 - 2x) - 3 = 0. Wir sehen die sich wiederholenden Elemente: (x2 - 2x), für die Lösung ist es für uns bequem, es zu ersetzen durcheine andere Variable und lösen Sie dann die übliche quadratische Gleichung. Wir stellen sofort fest, dass wir bei einer solchen Aufgabe vier Wurzeln erhalten, dies sollte Sie nicht erschrecken. Wir bezeichnen die Wiederholung der Variablen a. Wir erhalten: a2-2a-3 = 0.Unser nächster Schritt besteht darin, die Diskriminante der neuen Gleichung zu finden. Wir erhalten 16, wir finden zwei Wurzeln: minus eins und drei. Wir erinnern uns, dass wir die Substitution vorgenommen haben, ersetzen diese Werte, als Ergebnis haben wir die Gleichungen: x2 - 2x = -1; x2 - 2x = 3.Wir lösen sie in der ersten Antwort: x ist gleich eins, in der zweiten: x ist gleich minus eins und drei. Wir schreiben die Antwort wie folgt: plus / minus eins und drei. In der Regel wird die Antwort aufsteigend geschrieben.
Kubische Gleichungen
Betrachten wir eine andere mögliche Option. Es geht um kubische Gleichungen. Sie sehen aus wie: Axt 3 + b x 2 + cx + d = 0. Wir werden später Beispiele für Gleichungen betrachten und zuerst ein wenig Theorie. Sie können drei Wurzeln haben, und es gibt auch eine Formel, um die Diskriminante für eine kubische Gleichung zu finden.
Betrachten Sie ein Beispiel: 3x3+ 4x2+ 2x = 0. Wie man es löst? Dazu setzen wir einfach x außerhalb der Klammern: x (3x2+ 4x + 2) = 0. Wir müssen nur die Wurzeln der Gleichung in Klammern berechnen. Die Diskriminante der quadratischen Gleichung in Klammern ist kleiner als Null, daher hat der Ausdruck eine Wurzel: x = 0.
Algebra. Gleichungen
Kommen wir zur nächsten Ansicht. Wir werfen nun einen kurzen Blick auf algebraische Gleichungen. Eine der Aufgaben lautet wie folgt: Faktorisieren Sie nach der Gruppierungsmethode 3x4+ 2x3+ 8x2+ 2x + 5. Am bequemsten wäre die folgende Gruppierung: (3x4+ 3x2) + (2x3+ 2x) + (5x2+5). Beachten Sie, dass 8x2 aus dem ersten Ausdruck haben wir als Summe von 3x2 und 5x2... Jetzt nehmen wir aus jeder Klammer den gemeinsamen Faktor 3x heraus2(x2 + 1) + 2x (x2+1) +5 (x2+1). Wir sehen, dass wir einen gemeinsamen Faktor haben: x zum Quadrat plus eins, wir setzen ihn außerhalb der Klammern: (x2+1) (3x2+ 2x + 5). Eine weitere Erweiterung ist unmöglich, da beide Gleichungen eine negative Diskriminante haben.
Transzendente Gleichungen
Wir schlagen vor, mit dem folgenden Typ umzugehen. Dies sind Gleichungen, die transzendente Funktionen enthalten, nämlich logarithmische, trigonometrische oder exponentielle. Beispiele: 6sin2x + tgx-1 = 0, x + 5lgx = 3 und so weiter. Wie sie gelöst werden, erfahren Sie im Trigonometriekurs.
Funktion
Betrachten Sie im letzten Schritt das Konzept einer GleichungFunktionen. Im Gegensatz zu den vorherigen Optionen wird dieser Typ nicht gelöst, sondern ein Diagramm darauf aufgebaut. Dazu sollte die Gleichung gut analysiert werden, alle notwendigen Punkte für die Konstruktion gefunden, die minimalen und maximalen Punkte berechnet werden.
