Enkel iterationsmetode, også kaldet metodesuccessiv tilnærmelse er en matematisk algoritme til at finde værdien af en ukendt størrelse ved sin gradvise forfining. Essensen i denne metode er, at som navnet antyder, gradvist at udtrykke de efterfølgende fra den indledende tilnærmelse, opnås flere og flere forfinede resultater. Denne metode bruges til at finde værdien af en variabel i en given funktion, såvel som ved løsning af ligningssystemer, både lineære og ikke -lineære.
Lad os overveje, hvordan denne metode implementeres, når vi løser en SLAE. Den enkle iterationsmetode har følgende algoritme:
1.Kontrol af opfyldelsen af konvergensbetingelsen i den originale matrix. Konvergens sætning: hvis systemets indledende matrix har en diagonal dominans (dvs. i hver række skal elementerne i hoveddiagonalen være større i modul end summen af elementerne i de sekundære diagonaler modulo), så skal metoden med enkel iterationer er konvergerende.
2.Matrixen i det originale system har ikke altid en diagonal dominans. I sådanne tilfælde kan systemet konverteres. Ligninger, der opfylder konvergensbetingelsen, efterlades intakte, og med dem, der ikke tilfredsstiller, danner de lineære kombinationer, dvs. multiplicere, trække fra, tilføje ligningerne sammen, indtil det ønskede resultat er opnået.
Hvis der i det resulterende system på hoveddiagonen er ubelejlige koefficienter, så er udtrykkets form medog* xjeg, hvis tegn skal falde sammen med tegnene på de diagonale elementer.
3. Konvertering af det resulterende system til dets normale form:
med-= β-+ α * x-
Dette kan gøres på mange måder, for eksempel sådan: fra den første ligning udtrykkes x1 gennem andre ukendte, fra den anden - x2, fra den tredje - x3 etc. I dette tilfælde bruger vi formlerne:
aij= - (aij / aii)
og= bog/ aii
Vi skal igen sikre os, at det resulterende system med normal form opfylder konvergensbetingelsen:
∑ (j = 1) | αij| ≤ 1, mens i = 1,2, ... n
4. Vi begynder faktisk at anvende selve metoden til successive tilnærmelser.
med(0)er den indledende tilnærmelse, udtrykker vi gennem det x(1), derefter gennem x(1) udtrykke x(2)... Den generelle formel i matrixform ser sådan ud:
med(n)= β-+ α * x(n-1)
Vi beregner, indtil vi når den nødvendige nøjagtighed:
maks. xog(k) -xog(k + 1) ≤ ε
Så lad os sætte den enkle iterationsmetode i praksis. Eksempel:
Løs SLAE:
4,5x1-1,7x2 + 3,5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4 med præcision ε = 10-3
Lad os se, om de diagonale elementer hersker i modul.
Vi ser, at kun den tredje ligning opfylder konvergensbetingelsen. Vi transformerer den første og anden, tilføjer den anden til den første ligning:
7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3
Træk det første fra det tredje:
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
Vi har konverteret det originale system til et tilsvarende:
7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4
Lad os nu bringe systemet tilbage til det normale:
x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0,6429x1-0,2857x3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2
Kontrol af konvergensen af den iterative proces:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, dvs. betingelsen er opfyldt.
0,3947
Indledende tilnærmelse x(0) = 0,4762
0,8511
Ved at substituere disse værdier i normalformligningen får vi følgende værdier:
0,08835
med(1)= 0,486793
0,446639
Ved at erstatte nye værdier får vi:
0,215243
med(2)= 0,405396
0,558336
Vi fortsætter beregningerne, indtil vi kommer tæt på de værdier, der opfylder den givne betingelse.
0,18813
med(7)= 0,441091
0,544319
0,188002
med(otte) = 0,44164
0,544428
Lad os kontrollere rigtigheden af de opnåede resultater:
4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2.0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1,1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977
Resultaterne opnået ved at substituere de fundne værdier i de originale ligninger opfylder fuldt ud betingelserne for ligningen.
Som vi kan se, giver den enkle iterationsmetode ret nøjagtige resultater, men for at løse denne ligning måtte vi bruge meget tid og lave besværlige beregninger.
