Myslím, že bychom měli začít tak slavným příběhemmatematický nástroj jako diferenciální rovnice. Stejně jako všechny diferenciální a integrální počty byly tyto rovnice vynalezeny Newtonem na konci 17. století. Považoval tento svůj objev za tak důležitý, že dokonce zašifroval zprávu, kterou lze dnes přeložit asi takto: „Všechny přírodní zákony jsou popsány diferenciálními rovnicemi.“ Může se to zdát přehnané, ale je to tak. Libovolný zákon fyziky, chemie, biologie lze popsat těmito rovnicemi.
Matematici Euler a Lagrange nesmírně přispěli k rozvoji a tvorbě teorie diferenciálních rovnic. Již v 18. století objevili a vyvinuli to, co se nyní studuje v vyšších ročnících univerzit.
Nový milník ve studiu diferenciálních rovniczačal díky Henri Poincaré. Vytvořil „kvalitativní teorii diferenciálních rovnic“, která v kombinaci s teorií funkcí komplexní proměnné významně přispěla k založení topologie - vědy o vesmíru a jeho vlastnostech.
Co jsou diferenciální rovnice?
Mnozí se bojí jedné fráze"diferenciální rovnice". V tomto článku však podrobně popíšeme celou podstatu tohoto velmi užitečného matematického aparátu, který ve skutečnosti není tak komplikovaný, jak naznačuje název. Abyste mohli začít mluvit o diferenciálních rovnicích prvního řádu, měli byste se nejprve seznámit se základními pojmy, které jsou neodmyslitelně spojeny s touto definicí. A začneme diferenciálem.
Rozdíl
Mnoho lidí zná tento koncept ze školy.Pojďme se však tím zabývat podrobněji. Představte si graf funkce. Můžeme jej zvětšit do takové míry, že jakýkoli jeho segment má formu přímky. Na to vezmeme dva body, které jsou nekonečně blízko u sebe. Rozdíl mezi jejich souřadnicemi (x nebo y) bude nekonečně malý. Říká se tomu diferenciál a označuje se znaménky dy (diferenciál z y) a dx (rozdíl z x). Je velmi důležité si uvědomit, že rozdíl není konečná hodnota, a to je jeho význam a hlavní funkce.
A nyní je nutné zvážit další prvek, který nám bude užitečný při vysvětlování pojmu diferenciální rovnice. Toto je derivát.
Derivát
Všichni jsme tento koncept pravděpodobně slyšeli ve škole.O derivaci se říká, že rychlost, s jakou se funkce zvyšuje nebo snižuje. Z této definice však bude mnoho nepochopitelné. Pokusme se derivaci vysvětlit pomocí diferenciálů. Vraťme se zpět do nekonečně malého segmentu funkce se dvěma body, které jsou v minimální vzdálenosti od sebe. Ale i pro tuto vzdálenost má funkce čas se do určité míry změnit. A popsat tuto změnu a přišel s derivací, kterou lze jinak zapsat jako poměr diferenciálů: f (x) "= df / dx.
Nyní stojí za zvážení základní vlastnosti derivátu. Jsou jen tři z nich:
- Derivát součtu nebo rozdílu lze vyjádřit jako součet nebo rozdíl derivátů: (a + b) "= a" + b "a (a-b)" = a "-b".
- Druhá vlastnost souvisí s násobením. Derivát produktu je součet produktů jedné funkce derivací jiné: (a * b) "= a" * b + a * b ".
- Derivaci rozdílu lze zapsat jako následující rovnost: (a / b) "= (a" * b-a * b ") / b2.
Všechny tyto vlastnosti budou pro nás užitečné při hledání řešení diferenciálních rovnic prvního řádu.
Existují také částečné deriváty.Řekněme, že máme funkci z, která závisí na proměnných xay. Pro výpočet parciální derivace této funkce, řekněme, s ohledem na x, musíme brát proměnnou y jako konstantu a pouze diferencovat.
Integrální
Dalším důležitým konceptem je integrál.V podstatě jde o pravý opak derivace. Integrály přicházejí v několika formách, ale k řešení nejjednodušších diferenciálních rovnic potřebujeme nejtriviálnější neurčité integrály.
Co je tedy integrál?Řekněme, že máme nějakou závislost f na x. Vezmeme z toho integrál a dostaneme funkci F (x) (často nazývanou primitivní), jejíž derivace se rovná původní funkci. Tedy F (x) "= f (x). Z toho také vyplývá, že integrál derivace se rovná původní funkci.
Při řešení diferenciálních rovnic je velmi důležité pochopit význam a funkci integrálu, protože je budete muset často najít, abyste našli řešení.
Rovnice se liší v závislosti na jejich povaze. V další části se podíváme na typy diferenciálních rovnic prvního řádu a pak se naučíme, jak je řešit.
Třídy diferenciálních rovnic
„Difúze“ jsou rozděleny v pořadí podle derivátů,účastnit se jich. Existuje tedy první, druhý, třetí a další řád. Lze je také rozdělit do několika tříd: obyčejné a částečné derivace.
V tomto článku se podíváme na běžnédiferenciální rovnice prvního řádu. V následujících částech se také budeme zabývat příklady a způsoby jejich řešení. Budeme uvažovat pouze o ODR, protože to jsou nejběžnější typy rovnic. Obyčejné se dělí na poddruhy: s oddělitelnými proměnnými, homogenní a heterogenní. Dále se dozvíte, jak se od sebe liší, a naučíte se, jak je vyřešit.
Kromě toho lze tyto rovnice kombinovat tak, že poté, co dostaneme systém diferenciálních rovnic prvního řádu. Budeme také uvažovat o těchto systémech a naučíme se, jak je řešit.
Proč uvažujeme pouze o první objednávce? Protože musíte začít jednoduše a je prostě nemožné popsat vše, co souvisí s diferenciálními rovnicemi v jednom článku.
Oddělitelné rovnice
Jedná se možná o nejjednodušší diferenciálrovnice prvního řádu. Patří mezi ně příklady, které lze zapsat takto: y "= f (x) * f (y). Abychom tuto rovnici vyřešili, potřebujeme vzorec pro vyjádření derivace jako poměr diferenciálů: y" = dy / dx. Pomocí toho získáme následující rovnici: dy / dx = f (x) * f (y). Nyní se můžeme obrátit na metodu řešení standardních příkladů: proměnné rozdělíme na části, to znamená, že přeneseme vše z proměnné y do části, kde se nachází dy, a uděláme totéž s proměnnou x. Dostaneme rovnici ve tvaru: dy / f (y) = f (x) dx, která se řeší integrály z obou stran. Nezapomeňte na konstantu, která musí být nastavena po převzetí integrálu.
Řešení jakékoli „difúze“ je funkcí závislosti x na y (v našem případě), nebo pokud existuje numerická podmínka, pak je odpověď ve formě čísla. Pojďme analyzovat celý průběh řešení pomocí konkrétního příkladu:
y "= 2r * hřích (x)
Přenášíme proměnné různými směry:
dy / y = 2 * sin (x) dx
Nyní vezmeme integrály. Všechny najdete ve speciální tabulce integrálů. A dostaneme:
ln (y) = -2 * cos (x) + C.
V případě potřeby můžeme vyjádřit „hru“ jakofunkce od „x“. Nyní můžeme říci, že naše diferenciální rovnice je vyřešena, pokud podmínka není specifikována. Lze zadat podmínku, například y (n / 2) = e. Pak jednoduše dosadíme hodnotu těchto proměnných do řešení a najdeme hodnotu konstanty. V našem příkladu se rovná 1.
Homogenní diferenciální rovnice prvního řádu
Nyní přejdeme k obtížnější části.Homogenní diferenciální rovnice prvního řádu lze psát v obecné podobě následovně: y "= z (x, y). Je třeba poznamenat, že správná funkce dvou proměnných je homogenní a nelze ji rozdělit na dvě závislosti: z na x a z na y. Zkontrolujte, zda je rovnice homogenní nebo ne, je celkem jednoduchá: provedeme substituci x = k * x a y = k * y. Nyní zrušíme všechna k. Pokud byla všechna tato písmena zrušena, pak rovnice je homogenní a můžeme bezpečně přistoupit k jejímu řešení. Řekněme: princip řešení těchto příkladů je také velmi jednoduchý.
Musíme provést výměnu:y = t (x) * x, kde t je nějaká funkce, která také závisí na x. Pak můžeme vyjádřit derivaci: y "= t" (x) * x + t. Dosazením toho všeho do naší původní rovnice a jejím zjednodušením získáme příklad s oddělitelnými proměnnými t a x. Vyřešíme to a dostaneme závislost t (x). Když to získáme, jednoduše dosadíme y = t (x) * x do naší předchozí náhrady. Pak dostaneme závislost y na x.
Abychom to objasnili, podívejme se na příklad: x * y "= y-x * ey / x.
Při kontrole a výměně je vše omezeno.To znamená, že rovnice je skutečně homogenní. Nyní vytvoříme další náhradu, o které jsme mluvili: y = t (x) * x a y "= t" (x) * x + t (x). Po zjednodušení dostaneme následující rovnici: t "(x) * x = -et... Vyřešte výsledný příklad s oddělenými proměnnými a získejte: e-t= ln (C * x). Musíme pouze nahradit t y / x (koneckonců, pokud y = t * x, pak t = y / x), a dostaneme odpověď: e-y / x= ln (x * С).
Lineární diferenciální rovnice prvního řádu
Je čas zvážit další široké téma.Budeme analyzovat nehomogenní diferenciální rovnice prvního řádu. Jak se liší od předchozích dvou? Pojďme na to přijít. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu v obecné podobě lze psát následovně: y "+ g (x) * y = z (x). Je třeba objasnit, že z (x) a g (x) mohou být konstantní hodnoty.
A nyní příklad: y "- y * x = x2.
Existují dva způsoby, jak to vyřešit, a oba budeme řešit v pořádku. První je metoda variace libovolných konstant.
Chcete-li vyřešit rovnici tímto způsobem, musíte nejprve vyrovnat pravou stranu na nulu a vyřešit výslednou rovnici, která po přenosu částí bude mít podobu:
y "= y * x;
dy / dx = y * x;
dy / y = xdx;
ln | y | = x2/ 2 + C;
y = ex2 / 2* yC= C.1* ex2 / 2.
Nyní musíme nahradit konstantu C.1 k funkci v (x), kterou musíme najít.
y = v * ex2 / 2.
Nahraďme derivaci:
y "= v" * ex2 / 2-x * v * ex2 / 2.
A tyto výrazy dosadíme do původní rovnice:
v "* ex2 / 2 - x * v * ex2 / 2 + x * v * ex2 / 2 = x2.
Vlevo vidíte, že jsou zrušeny dva termíny. Pokud se to v nějakém příkladu nestalo, udělali jste něco špatně. Pokračujme:
v "* ex2 / 2 = x2.
Nyní vyřešíme obvyklou rovnici, ve které musíme oddělit proměnné:
dv / dx = x2/ ex2 / 2;
dv = x2* e-x2 / 2dx.
Chcete-li extrahovat integrál, musíme použítzde integrace po částech. To však není předmětem našeho článku. Máte-li zájem, můžete se naučit, jak tyto věci dělat sami. Není to těžké a při dostatečné dovednosti a pozornosti to nezabere mnoho času.
Vraťme se k druhé metodě řešení nehomogenních rovnic: Bernoulliho metodě. Který přístup je rychlejší a jednodušší, je na vás.
Takže při řešení rovnice touto metodou jsmeje nutné provést náhradu: y = k * n. Zde k a n jsou některé funkce závislé na x. Potom bude derivace vypadat takto: y "= k" * n + k * n "Nahraďte obě substituce v rovnici:
k "* n + k * n" + x * k * n = x2.
Seskupujeme:
k "* n + k * (n" + x * n) = x2.
Nyní musíme rovnat nule, co je v závorkách. Pokud nyní zkombinujete dvě výsledné rovnice, získáte systém diferenciálních rovnic prvního řádu, který je třeba vyřešit:
n "+ x * n = 0;
k "* n = x2.
První rovnost řešíme jako obyčejnou rovnici. Chcete-li to provést, musíte oddělit proměnné:
dn / dx = x * v;
dn / n = xdx.
Vezmeme integrál a dostaneme: ln (n) = x2/ 2. Pak, když vyjádříme n:
n = ex2 / 2.
Nyní dosadíme výslednou rovnost do druhé rovnice systému:
k "* ex2 / 2= x2.
A při převodu získáme stejnou rovnost jako v první metodě:
dk = x2/ ex2 / 2.
Nebudeme také analyzovat další akce.Je třeba říci, že nejprve řešení diferenciálních rovnic prvního řádu způsobuje značné potíže. Jak se však budete hlouběji zabývat tématem, začne to být čím dál lepší.
Kde se používají diferenciální rovnice?
Velmi aktivní diferenciální rovniceaplikován ve fyzice, protože téměř všechny základní zákony jsou psány v diferenciální formě a vzorce, které vidíme, jsou řešením těchto rovnic. V chemii se používají ze stejného důvodu: s jejich pomocí lze odvodit základní zákony. V biologii se diferenciální rovnice používají k modelování chování systémů, jako je predátor-kořist. Mohou být také použity k vytvoření šlechtitelských modelů pro, řekněme, mikrobiální kolonii.
Jak v životě pomáhají diferenciální rovnice?
Odpověď na tuto otázku je jednoduchá: nic.Pokud nejste vědec nebo inženýr, je nepravděpodobné, že by pro vás byly užitečné. Pro obecný vývoj však není na škodu vědět, co je to diferenciální rovnice a jak je řešena. A pak otázka syna nebo dcery „co je to diferenciální rovnice?“ nebude vás plést. Pokud jste vědec nebo inženýr, pak sami chápete důležitost tohoto tématu v jakékoli vědě. Nejdůležitější však je, že nyní otázka „jak vyřešit diferenciální rovnici prvního řádu?“ vždy můžete odpovědět. Souhlasíte, je vždy příjemné, když pochopíte, čemu se lidé dokonce bojí porozumět.
Hlavní problémy ve studii
Hlavním problémem při pochopení tohoto tématu ješpatná dovednost integrovat a rozlišovat funkce. Pokud nejste dobří v získávání derivátů a integrálů, pravděpodobně stojí za to naučit se více, zvládnout různé metody integrace a diferenciace a teprve poté začít studovat materiál, který byl popsán v článku.
Někteří lidé jsou překvapeni, když zjistí, že dxlze přenést, protože dříve (ve škole) bylo uvedeno, že zlomek dy / dx je nedělitelný. Zde si musíte přečíst literaturu o derivaci a pochopit, že při řešení rovnic lze manipulovat s poměrem nekonečně malých veličin.
Mnoho lidí si okamžitě neuvědomuje, že řešení diferenciálních rovnic prvního řádu je často funkcí nebo netriviálním integrálem, a tato iluze jim dělá spoustu problémů.
Co jiného můžete studovat, abyste lépe porozuměli?
Nejlepší je začít s dalším ponořením do světadiferenciální počet ze specializovaných učebnic, například v matematické analýze pro studenty nematematických specializací. Poté můžete přejít k více specializované literatuře.
Stojí za to říci, že kromě diferenciálních rovnic existují i integrální rovnice, takže budete mít vždy o co usilovat a co studovat.
Závěr
Doufáme, že po přečtení tohoto článku budete mít představu o tom, co jsou to diferenciální rovnice a jak je správně vyřešit.
V každém případě nám bude matematika v životě nějakým způsobem užitečná. Rozvíjí logiku a pozornost, bez níž není každý člověk jako žádná ruka.
